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N'appliquez pas la condition non-homogène avant le principe de superposition. Chapitre 3: la méthode de séparation des variables Via un exemple illustratif, on explique la méthode de séparation des variables, dite également, de Fourier. La méthode consiste, grosso modo, à chercher des solutions élémentaires séparées; ce qui nous amène à la résolution des EDOs, et, ensuite, à superposer pour avoir la solution générale. Mots-clés: solution séparée; problème à valeur propre; série de Fourier. Exercices sur les ondes – Méthode Physique. Chapitre 2: EDPs linéaires d'ordre 2 Après un premier chapitre consacré aux EDPs du premier ordre, ce deuxième chapitre est dédié aux EDPs linéaires du second ordre. Nous les classons en trois types: hyperboliques, paraboliques et elliptiques. Ensuite, nous décrirons, pour chacun de ces trois types, la forme canonique; ce qui facilitera leurs études, et éventuellement leurs résolutions. Mots-clés: variable caractéristique; forme canonique. Méthode des caractéristiques: Exemple On considère le problème de Cauchy suivant: La donnée initiale est portée par la courbe initiale.
Le système caractéristique est: Les conditions initiales sont: Résolvons le système ( S). La première EDO est simple à intégrer. On trouve: En ce qui concerne la deuxième EDO, on a: On a: Déterminons maintenant. Sur les courbes caractéristiques, la solution vérifie la troisième EDO, c-à-d,, qu'on résout avec la condition initiale. On trouve: Déterminons. On a: D'où, Écrivons maintenant en fonction de et. Équation des ondes exercices corrigés le. On a: Par conséquent, la solution est donnée par: La méthode des caractéristiques La méthode des caractéristiques, qu'on attribue au mathématicien français Cauchy, est une technique pour résoudre les EDPs (essentiellement du 1 er ordre). Elle consiste à construire des courbes, dites caractéristiques, le long desquelles l'EDP se réduit à un système de 3 EDOs, dit système caractéristique. Voici un résumé décrivant comment on applique cette méthode pour le problème de Cauchy: Tout d'abord, nous paramétrons la courbe initiale par un paramètre. Nous résolvons le système caractéristique (= système de 3 ODEs), avec les conditions initiales données le long de la courbe pour chaque.