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Intégration au sens d'une mesure partie 3: Croissance de l'intégrale d'une application étagée - YouTube
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Il est clair que F s'annule en a, et pour toute autre primitive G de f s'annulant en a, la différence F − G est de dérivée nulle donc est constante mais s'annule en a, donc F − G = 0. Toute fonction continue sur un intervalle I de R admet une primitive sur I. Au lieu d'utiliser l'intégrale de Riemann, on peut aussi démontrer ce corolaire d'une autre manière et transformer le théorème fondamental de l'analyse en définition de l'intégrale pour une fonction continue. Les propriétés de l'introduction s'en déduisent facilement. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur cet intervalle. Alors pour tout ( a, b) ∈ I 2 on a ∫ a b f ( t) d t = [ F ( t)] a b = F ( b) − F ( a). Cette propriété permet de calculer de nombreuses intégrales grâce aux formules de dérivées des fonctions de référence. Intégration par parties Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, avec g dérivable sur I. Soit F une primitive de f sur I et ( a, b) ∈ I 2. Alors on a ∫ a b f ( t) g ( t) d t = [ F ( t) g ( t)] a b − ∫ a b F ( t) g ′( t)d t.
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Théories Propriétés de l'intégrale Propriétés de base Propriété Relation de Chasles Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, alors pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$ de $I$, nous avons:\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\int_a^c{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_c^b{f(x)\;\mathrm{d}x}. \] Voir l'animation Voir l'idée de preuve Supposons d'abord que $f$ est positive sur $I$. Dans ce cas, la relation de Chasles résulte de $\mathrm{aire}(\Delta_f)=\mathrm{aire}(\Delta)+\mathrm{aire}(\Delta')$ Nous admettrons la validité de cette propriété dans le cadre général. Propriété Linéarité de l'intégrale Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$. Alors pour tous nombres réels $a$ et $b$ de $I$, et tout réel $\alpha$ nous avons: $\displaystyle\int_a^b{\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\;\mathrm{d}x}=\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}$ $\displaystyle\int_a^b{\alpha f(x)\;\mathrm{d}x}=\alpha \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$ Propriété Positivité de l'intégrale Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I$.
Dans ce cas, on note en général d t = φ ′( u) d u, on cherche des antécédents α et β pour les bornes a et b puis on calcule = ∫ α β f ( φ ( u)) φ ′( u) d u. Pour calculer ∫ 0 4 exp( √ x) d x, on peut poser x = t 2, la fonction carré étant de classe C 1 sur R +, avec d x = 2 t d t, les bornes 0 et 4 admettant pour antécédents respectifs 0 et 2, on en déduit ∫ 0 4 exp( √ x) d x = ∫ 0 2 exp( t) 2 t d t et une intégration par parties permet de conclure ∫ 0 2 exp( t) 2 t d t = [ exp( t) 2 t] 0 2 − 2 ∫ 0 2 exp( t) d t = 4 e 2 − 2(e 2 − 1) = 2 e 2 + 2. Sommes de Riemann Les sommes de Riemann (à droite) associées à une fonction f s'écrivent pour tout n ∈ N ∗, S n = ( b − a) / n ∑ k =1 n f ( a + k ( b − a) / n). On peut aussi définir des sommes de Riemann à gauche sous la forme ∑ k =0 n −1 La suite des sommes de Riemann converge vers l'intégrale ∫ a b f ( t) d t. En particulier, pour toute fonction f continue sur [0; 1], on a lim n →+∞ 1 / n f ( k / n) = ∫ 0 1 f ( t) d t.
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