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Thursday, 22 August 2024
Fonction carrée et le second degré Exercices interactifs avec correction détaillée et cours en 2nde Chaque exercice corrigé de maths peut être refait des centaines de fois sans jamais retrouver exactement les mêmes données. Pour le lycée, tous les exercices corrigés interactifs du 1er chapitre de 2nde sont entièrement gratuits, ainsi que la première fiche de chaque chapitre de seconde comme la suivante. Exercices gratuits dans l'encadré Les exercices corrigés interactifs de maths de 2nde ci-dessous sont accessibles après adhésion. Calcul littéral et identité remarquable

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2nd – Exercices corrigés Exercice 1 Calculer les antécédents par la fonction carré $f$, lorsque c'est possible, des réels: $1$ $\quad$ $-16$ $ \dfrac{9}{5}$ $25$ Correction Exercice 1 On veut résoudre l'équation $x^2 = 1$. Cette équation possède deux solutions: $-1$ et $1$. Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$. On veut résoudre l'équation $x^2 = -16$. Un carré ne peut pas être négatif. $-16$ n'a donc aucun antécédent. On veut résoudre l'équation $x^2 = \dfrac{9}{5}$. Cette équation possède deux solutions: $-\sqrt{\dfrac{9}{5}} = -\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$. Les antécédents de $\dfrac{9}{5}$ sont $-\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ et $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$. On veut résoudre l'équation $x^2 = 25$. Cette équation possède deux solutions: $-5$ et $5$. Les antécédents de $25$ sont $-5$ et $5$. [collapse] Exercice 2 Soit $f$ la fonction carré définie sur $\R$ par $f(x) = x^2$. Pour chacune des phrases suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.

Accueil Soutien maths - Fonction carré Cours maths seconde Etude de la fonction: définition, tableau de variation, courbe représentative. Définition: La fonction carré est la fonction définie sur par: Exemples: Propriété: La fonction carré est toujours positive. Variations La fonction carré a le tableau de variation suivant: La fonction carré est décroissante sur l'intervalle. La fonction carré est croissante sur l'intervalle. Tracé de la courbe représentative Tableau de valeurs: Représentation graphique: La courbe représentative de la fonction carré est une parabole. Symétrie La parabole admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. On dit que la fonction carré est paire. Résolution de l'équation x² = a Il y a trois cas selon le signe de a: Equation avec carré La méthode est de se ramener à une équation du type x2 = a par des opérations sur l'égalité ou par un changement de variable et d'utiliser le résultat de la diapositive précédente. Exemple: Résoudre 3x² - 4 = 71 3x² - 4 = 71 3x² = 71 + 4 3x² = 75 x² = 75 / 3 x² = 25 On en déduit que l'équation possède deux solutions: Résolution de l'inéquation x2 Il y a deux cas selon le signe de a: Résolution de l'inéquation x2 > a.

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I. La fonction carré Définition n°1: La fonction f f définie sur R \mathbb{R} par: f ( x) = x 2 f(x) = x^2 s'appelle la fonction carré. Propriété n°1: La fonction carré est strictement décroissante sur] − ∞; 0]]-\infty; 0] et strictement croissante sur [ 0; + ∞ [ [0; +\infty[. Tableau de variations: Représentation graphique: Remarques: Dans un repère ( O; I, J) (O; I, J), la courbe représentative de la fonction carrée est une parabole de sommet O O. Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carrée admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie. \quad II. La fonction inverse Définition n°2: La fonction f f définie sur R ∗ = \mathbb{R}^* =] − ∞; 0 []-\infty; 0[ ∪ \cup] 0; + ∞ []0; +\infty[ par: f ( x) = 1 x f(x) = \frac{1}{x} est appelée fonction inverse. Propriété n°2: La fonction inverse est strictement décroissante sur] − ∞; 0 []-\infty; 0[ et sur] 0; + ∞ []0; +\infty[. Remarque: Attention, on ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur] − ∞; 0 []-\infty; 0[ ∪ \cup] 0; + ∞ []0; +\infty[ car] − ∞; 0 []-\infty; 0[ ∪ \cup] 0; + ∞ []0; +\infty[ n'est pas un intervalle.

A retenir: un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul. On continue donc: (4) $⇔$ $x={1}/{2}$ ou $x^2=10$ Et donc: (4) $⇔$ $x=0, 5$ ou $x=-√{10}$ ou $x=√{10}$ S$=\{-√{10};0, 5;√{10}\}$ (5)$⇔$ $x^2+3=0$ $⇔$ $x^2=-3$ Or, un carré est positif ou nul. Donc l'égalité $x^2=-3$ est absurde. Donc l'équation (5) n'a pas de solution. S$= ∅$ Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de la parabole représentant la fonction carré (6) $⇔$ $x^2 < 9$ $⇔$ $-√{9}$<$x$<$√{9}$ Soit: (6) $⇔$ $-3$<$x$<$3$ S$=]-3;3[$ A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2$<$a$ $⇔$ $-√{a}$<$x$<$√{a}$. Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de la parabole représentant la fonction carré (voir inéquation (6)) (7) $⇔$ $x^2>9$ $⇔$ $x$<$-√{9}$ ou $x$>$√{9}$ Soit: (7) $⇔$ $x$<$-3$ ou $x$>$3$ S$=]-\∞;-3$$]∪[$$3;+\∞[$ A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2≥a$ $⇔$ $x≤-√{a}$ ou $x≥√{a}$. (8) $⇔$ $-3x^2≤-11$ $⇔$ $x^2≥{-11}/{-3}$ A retenir: une inégalité change de sens si on divise chacun de ses membres par un nombre strictement négatif.

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Clique sur les numéros ci-dessus pour commencer. Exercices 1 et 2: Calcul image et antécédent (facile) Exercices 3 et 4: Lecture graphique image et antécédent (assez facile) Exercices 5 et 6: Tableau de variation d'une fonction (assez facile) Exercices 7 et 8: Résolution graphique d'équations et inéquations (moyen) Exercices 9 et 10: Ensemble de définition d'une fonction (moyen) Exercice 11 à 13: Calcul d'antécédents (difficile, nécessite d'avoir lu le chapitre 4) Exercice 14 à 17: Propriétés des fonctions affines, carré et inverse (assez difficile).

La fonction $f$ admet donc un minimum pour $x=-2$ qui vaut $-4$. $\quad$

Quelle beauté! 5. Venus Ce chat a deux visages: un côté du visage est de couleur noire, alors que l'autre est caramel. Cette particularité exceptionnelle le rend très attachant. 6. Univers Sur le web, les internautes ont surnommé ce chaton « le chat de l'univers », en raison de la particularité de ses yeux. 7. Muta et May Il est déjà trop tard, notre coeur est complètement conquis par Muta, ce singulier chat. Sa petite soeur est tout aussi mignonne... c'est de famille! 8. Leonidas Sur Instagram, on le surnomme simplement Leo. Il a un compte (Instagram) conjoint avec Orion, son partenaire de vie. Leo sait attirer l'attention avec ses coiffures, toujours impeccables. Quelles sont les races de chat les plus mignons du monde ?. 9. Aurora Aurora est une VRAIE princesse. Souvent, elle est vêtue d'une couronne argentée ou d'une crinoline vaporeuse. Elle a tout pour être une fière héritière de la reine. 10. Hamilton Ce n'est pas surprenant qu'on le surnomme le chat « hipster ». Sa moustache pourrait lui donner un air sérieux, mais c'est plutôt le contraire qui se produit!

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Le chat persan n'a pas besoin d'une grande attention, mais un traitement doux et attentionné devrait lui suffire à être le plus mignon des chats. D'un autre côté, le Persan sera autoritaire avec vos enfants si ils aiment le traîner partout et le forcer à faire de l'exercice. Il n'est pas vraiment amical avec vos invités non plus. Mais si vous le traitez avec douceur, le Persan figure parmi les chats les plus mignons! La durée de vie du chat persan est de 10 à 15 ans. Il peut peser de 3 à 5 kilos. 4. Birman Le Birman est l'une des races de chats les plus populaires en Amérique, avec sa douce fourrure blanche distincte, ses yeux bleus et ses pattes "blanches". On dit qu'il provient de la Terre Sainte de Birmanie, puis il a été porté en Europe. Sa première arrivée en Amérique et en Europe remonte après 1950. Le Birman est doux et mignon. Le chat le plus mignon du monde 2018 classement. C'est un fidèle ami de votre famille en raison de son caractère doux et gentil. Il aime traîner avec vous et vos autres animaux de compagnie, et n'exige pas beaucoup d'attention.

… 4 – Le Beagle, un chien idéal pour la famille. … 5 – La Caniche comme chien de famille. … 6 – Le Bouledogue Français: Un chien de famille très apprécié Quel est le chien le plus calme et affectueux? Les différentes races de chiens calmes Le Cavalier King Charles. Le Terre-Neuve. Le Bouledogue anglais. Le Golden retriever. Quelle est la race de chien la plus ancienne? Selon les analyses ADN, le chien sauvage de Nouvelle-Guinée est la race de chiens la plus ancienne. Quel était le premier chien sur terre? Le chat le plus mignon du monde 2018 tableau. La première apparition des Canis Arrivèrent Canis lepophagus, Canis cipio, Canis etruscus, et enfin Canis lupus qui est l'ancêtre commun et reconnu de nos chiens actuels. Canis dirus qui vivait en Amérique du Nord au Pléistocène, s'est éteint il y a environ 10. 000 ans. Comment est née le premier chien? Plus précisément, la nouvelle étude suggère que le chien dérive non pas d'une seule, mais de deux domestications indépendantes de loups: une, survenue en Europe il y a au moins 15 000 ans; et l'autre, en Asie de l' Est, il y a au moins 12 500 ans.