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Le Dîner Des Philosophes
Thursday, 1 August 2024

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La propriété 5. est démontrée dans l'exercice et utilise le résultat de l'exercice. Soient un réel et un entier naturel. 1. On a. Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à, on a pour tout entier. 2. On a en utilisant la stricte croissance de la fonction carré sur. Montrer que pour tout entier naturel n.e. Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à, on a pour tout entier. 3. On a car et la fonction racine carrée est strictement croissante sur. Ainsi, en prenant comme valeur de le plus petit entier strictement supérieur à, on a bien pour tout entier Une suite convergente est une suite qui a pour limite un nombre réel. On dit aussi que la suite converge vers. Une suite divergente est une suite qui ne converge pas. Une suite divergente peut être une suite qui n'a pas de limite (voir exemple) ou une suite qui a une limite infinie. La suite définie pour tout entier naturel par est une suite divergente: elle prend successivement la valeur quand est pair et la valeur quand est impair.

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Oui j'ai en effet oublié le! Du coup je voulais vous montrer ma démonstration pour voir si je n'ai pas fait d'erreur ou de déduction trop rapide. Je rappelle juste que l'énoncé me défini par: = avec n! =1. 2. 3... n et 0! =1. J'ai aussi démontrer dans une question précédente que = +. Pn:" €N pour n€N* et p€{1;... ;n}" Initialisation: Démontrons que P(0) est vraie. Si n=0 alors p=0 et p-1=0. Donc = = = =1 Or 1€N. Donc €N et €N. Donc p(0) est vraie. Hérédité: Supposons qu'il existe un n€N* tel que Pn soit vraie c'est-à-dire tel que €N pour p€{1;... ;n}. Démontrons que P(n+1) est vraie c'est-à-dire tel que €N pour p€{1;... ;n+1}. Pour p€{1;... ;n-1}: = + <=> = + Or = + est bien défini pour p€{1;... ;n} Donc si p€{1;... ;n}: = + Or, €N et €N. De plus, la somme de deux entiers naturels est égale à un entier naturel. Donc €N. Si p=n+1: Alors pour tout n€N*: = =1 Grâce au principe de récurrence, nous avons démontré que P0 est vraie et que si Pn est vraie pour un n€N* alors P(n+1) est vrai. Montrer que pour tout entier naturel n milieu. Donc Pn est vraie pour n€N* c'est-à-dire que €N pour n€N* et p€{1;... ;n-1}.

» Hier, 20h01 #10 Je vous remercie beaucoup pour vos réponses. Cependant mon professeur m'avait dit qu'on ne pouvait pas supposer une propriété au-delà du rang n. Cela ne vous pose-t-il aucun problème que je suppose ma propriété vraie pour des rangs au delà de n? Merlin95, effectivement j'ai mis un lien vers un site qui montre que cela est vraie pour les petites valeurs de n. Hier, 20h04 #11 Oui c'est un peu exotique je dois y réfléchir. « Il y a 3 sortes de gens au monde: ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. » Hier, 20h07 #12 L'avantage de cette conjecture, c'est qu'elle est déjà fortement initialisée!! Sinon, je ne cois pas le problème de "au delà de n", on a une propriété P(n) qui est initialisée (largement, mais au moins pour n=1) et il semble bien que pour n>=1, on montre que P(n) ==> P(n+1). Démontrer qu'un nombre est un entier naturel. La preuve par récurrence ne pose aucune condition sur P. Je réserve mon avis, mais attendons que d'autres vérifient à leur tour, je peux avoir raté une étape. Aujourd'hui Hier, 20h29 #13 Désolée d'avance si je me trompe mais dans l'énonciation de (Pn), on nous dit "- pour les entiers (6n+12) et (6n+16) si n est impair" et dans ce qu'il faut montrer pour prouver (Pn+1), on a "; 6n+18 et 6n+22 si n est impair"... ça ne devrait pas être "si n+1 est impair", donc "si n est pair"?

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