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Wednesday, 3 July 2024
En moyenne, les employés ont pris 2 jours de congés en juin. 2. Variance, écart type Définitions n° 2: On appelle variance d'une série statistique, la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs observées et la moyenne de la série. On la note V V. On a: V = n 1 × ( x 1 − x ‾) 2 +... + n p × ( x p − x ‾) 2 N V = \frac{n_1 \times (x_1 - \overline{x})^2+... + n_p \times (x_p - \overline{x})^2}{N} On appelle écart type d'une série statistique, la racine carrée de la variance de cette série. On le note σ \sigma. On a: σ = V \sigma = \sqrt{V} L'écart type s'exprime dans la même unité que la variable étudiée. L'écart type est un indicateur de dispersion de la série autour de la moyenne. Plus l'écart type est petit, plus les valeurs de la série sont proches autour de la moyenne. Inversement un grand écart type signifie que les valeurs sont éloignées les unes des autres. Propriété: On peut calculer la variance: V = n 1 x 1 2 +... Cours et exercices sur la statistique 1ere s. + n p x p 2 N − x ‾ 2 V = \frac{n_1x_1^2 +... + n_px_p^2}{N} - \overline{x}^2 V = 10 × 0 2 + 9 × 1 2 + 5 × 2 2 + 6 × 3 2 + 3 × 4 2 + 4 × 5 2 + 0 × 6 2 + 1 × 7 2 38 − 2 2 = 280 38 − 4 ≈ 3, 37 V = \frac{10 \times 0^2 + 9 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 6 \times 3^2 + 3 \times 4^2 + 4 \times 5^2 + 0 \times 6^2 + 1 \times 7^2}{38} - 2^2 = \frac{280}{38} - 4 \approx 3, 37 σ = V ≈ 1, 84 \sigma = \sqrt{V} \approx 1, 84 II.
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Donc: Me = 1 + 2 2 = 1. 5 \frac{1 + 2}{2} = 1. 5 Interprétation: La moitié des salariés a pris moins de 1, 5 jour de congé et l'autre plus de 1, 5. 2. Exercice Statistiques : Première. Écart interquartile Définitions n°4: Dans une série statistique dont les termes sont classés par ordre croissant, on appelle: premier quartile, noté Q 1 Q_1, le plus petit terme tel qu'au moins 25% des données soient inférieures ou égales à Q 1 Q_1; troisième quartile, noté Q 3 Q_3, le plus petit terme tel qu'au moins 75% des données soient inférieures ou égales à Q 3 Q_3; écart interquartile le nombre défini par: Q 3 − Q 1 Q_3 - Q_1. On commencera par calculer la position des quartiles, puis on s'aidera de la liste des valeurs ou du tableau des effectifs cumulés croissants. Pour la série étudiée, l'effectif total est 38. On a: 25 100 × 38 = 9, 5 \frac{25}{100} \times 38 = 9, 5: Q 1 Q_1 est la 1 0 e ˊ m e 10^{éme} valeur de la série. Donc Q 1 = 0 Q_1 = 0. Interprétation: au moins 25 25% des salariés n'a pris aucun jour de congé. On a: 75 100 × 38 = 28, 5 \frac{75}{100} \times 38 = 28, 5: Q 3 Q_3 est la 2 9 e ˊ m e 29^{éme} valeur de la série.

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Exercice 8: Soit X une variable statistique qualitative à k modalités et Y une variable statistique quantitative. Chaque modalité de X définit une sous-population: celle des individus ayant cette modalité. On note l'effectif correspondant à la modalité j de X, (resp. ) la moyenne (resp. la variance) des valeurs de la variable Y pour les individus de la modalité j. Montrer que où. On les appelle respectivement variances inter et intra-catégories. Exercice 9: On observe le nombre d'enfants Y sur un ensemble de 12 individus répartis entre les sexes (variable X): F H Montrer que. Exercices de statistiques de première. En posant, montrer que. En déduire l'expression du coefficient linéaire entre ces deux séries, appelé coefficient de corrélation des rangs de Spearman:. Exercice 11: Dix échantillons de cidre ont été classés par ordre de préférence par deux gastronomes. On obtient les classements suivants: A B Calculer le coefficient de corrélation des rangs de Spearman. Conclusion? Une autre façon d'évaluer le lien entre les rangs de deux séries consiste à utiliser le coefficient de corrélation des rangs de Kendall.

Dans tout le chapitre, on étudiera en exemple la même série statistique qui résume dans le tableau suivant le nombre de jours de congé posés par les 38 salariés d'une entreprise au cours du mois de juin: Jours de congés 0 1 2 3 4 5 6 7 Effectifs 10 9 I. Moyenne et écart type On considère la série statistique définie par le tableau suivant: Valeurs x 1 x_1 x 2 x_2... x p x_p n 1 n_1 n 2 n_2... n p n_p On note N N, l'effectif total: N = n 1 + n 2 +... + n p N = n_1 + n_2 +... Exercice statistique 1ère section jugement. + n_p 1. Moyenne (rappels) Définition n°1: On appelle moyenne d'une série statistique le nombre noté x ‾ \overline{x} et défini par: x ‾ = n 1 × x 1 +... + n p × x p N \overline{x} = \frac{n_1 \times x_1 +... + n_p \times x_p}{N} Exemple: x ‾ = 10 × 0 + 9 × 1 + 5 × 2 + 6 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 0 × 6 + 1 × 7 10 + 9 + 5 + 6 + 3 + 4 + 0 + 1 = 76 38 = 2 \overline{x} = \frac{10 \times 0 + 9 \times 1 + 5 \times 2 + 6 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + 0 \times 6 + 1 \times 7}{10 + 9 + 5 + 6 + 3 + 4 + 0 + 1} = \frac{76}{38} = 2.

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