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Saturday, 17 August 2024
Pour quelles valeurs de $a\in\mathbb R$ l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-ax}\arctan xdx$ est-elle convergente? On note $\mathcal D$ cet ensemble de valeurs et pour $a\in\mathcal D$, on note $I(a)$ la valeur de l'intégrale impropre. Soit $a\in\mathcal D$. Démontrer que $\displaystyle I(a)=\frac1{a^2}-\frac{2}{a^2}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx$. Démontrer que la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{x}{(1+x^2)^2}$ est bornée sur $\mathbb R_+$. Exercices de calcul d'intégrales impropres - Progresser-en-maths. En déduire que $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx=0$. Déterminer un équivalent simple de $I(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$. Démontrer la convergence de l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^{3/4}}dx$. On pourra comparer avec $\frac 1{x^\alpha}$ pour $\alpha$ bien choisi. Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$. En déduire la convergence de $\int_0^1\frac{\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)}{x^{3/4}}dx$. Donner un équivalent simple au voisinage de $+\infty$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$.

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Vérifier le résultat en utilisant une propriété du cours. Changement de variable en 2d: le jacobien – calcul d'aire Pour la première vidéo: Soit D = {(x; y) ∈ R 2 | 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9, y ≥ 0} Calculer A D de deux manières différentes. Pour la deuxième vidéo: Soit D = {(x; y) ∈ R 2 | 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} Calculer A D puis calculer: Formule de green-Riemann 1er exercice Calculer: avec 2ème exercice Retour au sommaire des exercices Remonter en haut de la page Cours, exercices, vidéos, et conseils méthodologiques en Mathématiques

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Matrices compagnons 7, 378 Endomorphismes cycliques 7, 078 Exercice: étude d'une application linéaire dans C[X] puis C_3[X] 6, 820 Corrigé: endomorphismes cycliques. Matrices compagnons 6, 770 Corrigé: polynômes de Tchebychev 6, 698 Deux petits problèmes sur les matrices 6, 625 Corrigé: matrices de transvections et automorphismes de l'algèbre L(E) 6, 431 Racine carrée d'un endomorphisme 6, 106 Le crochet de Lie (bis) 6, 055

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