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Saturday, 6 July 2024

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Issues, événements, probabilité d'un événement, probabilités et fréquences. • Cours de probabilités de première. Répétition d'expériences aléatoires, les probabilités conditionnelles. • Cours de première sur les variables aléatoires. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire. Cours probabilité seconde saint. • Cours de probabilités de terminale. Probabilités conditionnelles, dénombrement.

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Exemple: Voici les fréquences d'apparition des faces d'un dé en fonction du nombre de lancers. Remarque: Lorsqu'il nous est impossible de déterminer la probabilité d'un événement, on va utiliser cette propriété pour l'estimer. Propriété 2: Si on appelle $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ les probabilités des événements élémentaires $e_1$, $e_2$, $\ldots$, $e_n$ de l'univers $\Omega$ alors $$p_1+p_2+\ldots+p_n = 1. Cours probabilité seconde francais. $$ Exemple: Quand on lance un dé à $6$ faces on a $p\left(\lbrace 1 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 3 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 5 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right) = 1$. Propriété 3: La probabilité d'un événement $A$, notée $p(A)$, est la somme des probabilités des issues qui le compose. Exemple: Dans un lancer de dé à $6$ faces, on appelle $A$ l'événement "Obtenir un chiffre pair". Ainsi $p(A) = p\left(\lbrace 2 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 4 \rbrace\right) + p\left(\lbrace 6 \rbrace\right)$.

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L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces est: \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Les événements \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 3 \right\}, \left\{ 4 \right\}, \left\{ 5 \right\} et \left\{ 6 \right\} constituent des événements élémentaires. Événements incompatibles Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s'ils ne contiennent pas d'issue commune. L'expérience consiste toujours à lancer un dé à six faces. Cours de maths à Baron (33) - AlloVoisins. On considère les événements suivants: A: "obtenir un multiple de 3" B: "obtenir 4 ou 5" A et B sont deux événements incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés simultanément. On appelle événement contraire de l'événement A, noté \overline{A}, l'ensemble des éléments de \Omega qui ne sont pas dans A. L'expérience considérée est encore le lancer d'un dé à six faces. L'événement contraire à "obtenir un multiple de 3" est l'événement "ne pas obtenir un multiple de 3" soit l'événement "obtenir 1, 2, 4 ou 5".

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On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine. Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire: il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine. Issue d'une expérience aléatoire On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat possible de l'expérience. On appelle univers d'une expérience aléatoire, noté \Omega ("omega"), l'ensemble des issues possibles de l'expérience. L'expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces, l'univers est: \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} Un événement A est une partie de \Omega. Si on lance un dé à six faces, l'ensemble \left\{ 2{, }4{, }6 \right\} est un événement. Il correspond à l'événement "obtenir un nombre pair". Probabilités - cours gratuit mathématiques - seconde. Soit \Omega l'univers d'une expérience aléatoire. On appelle événement élémentaire tout événement ne comportant qu'une seule issue, c'est-à-dire les événements \left\{ \omega_{1} \right\}, \left\{ \omega_{2} \right\},..., \left\{ \omega_{n} \right\} si les éléments \omega_{1}, \omega_{2},..., \omega_{n} sont les issues de l'univers \Omega.

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B La réunion d'événements Soient A et B deux événements d'un univers \Omega. 2nd - Cours - Probabilités. On appelle réunion de A et B l'événement noté A\cup B contenant les issues qui réalisent au moins un des deux événements A ou B. Evénements incompatibles Soient A et B deux événements incompatibles: p\left(A \cup B\right) = p\left(A\right) + p\left(B\right) Probabilité de la réunion de deux événements Soient A et B deux événements: p\left(A \cup B\right) = p\left(A\right) + p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right) Cette égalité peut également s'écrire: p\left( A\cup B \right)+p\left( A\cap B \right)=p\left( A \right)+p\left( B \right) C L'événement contraire Soit un événement A. La probabilité de son événement contraire est égale à: p\left(\overline{A}\right) = 1 - p\left(A\right) A\cup\overline{A}=\Omega A\cap\overline{A}=\varnothing On appelle situation équiprobable une expérience où tous les événements élémentaires de \Omega ont la même probabilité d'être réalisés. Si on lance un dé équilibré à six faces, chaque face a la même probabilité de sortie qui vaut \dfrac{1}{6}.

Définition 9: On dit qu'il y a équiprobabilité si toutes les issues $e_i$ de l'univers $\Omega$ ont la même probabilité. Exemple: Quand une pièce est équilibrée, un dé n'est pas truqué il y a équiprobabilité. Propriété 4: Quand l'univers d'une expérience aléatoire contient $n$ issues et qu'il y a équiprobabilité, la probabilité de chacune de ces issues vaut $\dfrac{1}{n}$. Exemple: La probabilité d'apparition de chacune des faces d'un dé à $6$ faces non truqué est $\dfrac{1}{6}$. Propriété 5: Dans une situation d'équiprobabilité on a: $$p(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de}A}{\text{nombre total d'issues}}$$ Exemple: Dans un jeu de $32$ cartes, on considère l'événement $A$ "tirer un roi", on a $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$. Propriété 6: Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire d'univers $\Omega$. $0 \le p(A) \le 1$ $p\left(\Omega\right) = 1$ $p\left(\varnothing\right) = 0$ IV Calcul de probabilités Propriété 7: Soit $A$ un événement d'un univers $\Omega$. Cours probabilité seconde un. $$p\left(\overline{A}\right) = 1 – p(A)$$ Exemple: On utilise un jeu de $32$ cartes et on considère l'événement $A$ "Tirer un 7 rouges".