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Saturday, 1 June 2024

1. Équation réduite d'une droite Propriété Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme: x = c x=c si cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées ( « verticale ») y = m x + p y=mx+p si cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Dans le second cas, m m est appelé coefficient directeur et p p ordonnée à l'origine. Exemples Remarques L'équation d'une droite peut s'écrire sous plusieurs formes. Par exemple y = 2 x − 1 y=2x - 1 est équivalente à y − 2 x + 1 = 0 y - 2x+1=0 ou 2 y − 4 x + 2 = 0 2y - 4x+2=0, etc. Les formes x = c x=c et y = m x + p y=mx+p sont appelées équation réduite de la droite. Cette propriété indique que toute droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine. (Voir chapitre Fonctions linéaires et affines) Une droite parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient direct m m égal à zéro. Droites du plan seconde le. Son équation est donc de la forme y = p y=p. C'est la représentation graphique d'une fonction constante.

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Manipuler les vecteurs du plan La translation En maths de Seconde, le vecteur est présenté comme une translation géométrique, c'est-à-dire une projection d'un point ou d'une figure dans un plan. Par définition une translation requiert trois critères: une distance (longueur), un sens et une direction. Dans un plan, on représente la translation par une flèche pour indiquer le début et la fin de celle-ci, ainsi que sa direction. On dit qu'une translation qui transforme un point A en un point B associe tout point C à un unique point D. Droites dans le plan. Un vecteur n'est pas positionné à un lieu précis du plan, même si c'est bien à partir d'un endroit précis qu'on va pouvoir le définir. Le vecteur lui-même peut être translaté. La figure suivante illustre parfaitement ce concept: Vecteurs et coordonnées Dans ce programme de maths en Seconde, vous apprendrez à définir les vecteurs dans un plan à l'aide d'un repère et de points aux coordonnées cartésiennes. Pour définir un vecteur, et si les coordonnées d'un point A et celles du point image B sont connues par la translation de ce vecteur, il suffit de soustraire les coordonnées de A à celles de B: Exemple: soit A(3; −2), B(2; 4) des points dans un plan muni d'un repère (O, I, J), alors: On constate que pour se déplacer de A à B, on avance de 1 dans le sens horizontal et de 5 à la verticale.

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(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-y-1, =, 0, (L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-x+y+1, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$ La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans la ligne $L_2$ (S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2y+4, =, 0, (L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; y, =, 2$ $⇔$ $\{\table x-3×2+3, =, 0; y, =, 2 $ $⇔$ $\{\table x=3; y=2 $ Méthode 2: Nous allons procéder par substitution. (S) $⇔$ $\{\table y={-1}/{-3}x-{3}/{-3}; x-y-1=0$ Remplacer $y$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde ligne $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-({1}/{3}x+1)-1=0$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-{1}/{3}x-1-1=0$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; {2}/{3}x=2$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x=2×{3}/{2}=3$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}×3+1=2; x=3$ Méthode 3: Pour les curieux, nous allons procéder par combinaisons linéaires en choisissant d'éliminer $y$ cette fois-ci. $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); 3x-3y-3, =, 3×0, (3L_2 ⇨L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-3x+3y+3, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$ La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans la ligne $L_2$ (S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2x+6, =, 0, (L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; x, =, 3$ $⇔$ $\{\table 3-3y+3, =, 0; x, =, 3 $ $⇔$ $\{\table y=2; x=3 $ On retrouve la solution du système $(x;y)=(3;2)$.

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Bref, \(b\) POSITIONNE. Un point et une direction, c'est bien suffisant pour tracer une droite. Deux droites sont parallèles (ou éventuellement confondues) si elles ont le même coefficient directeur. Sinon elles sont sécantes (voir les positions relatives de droites). 2de gé - Droites du plan - Nomad Education. Comment déterminer l'équation de la droite à partir de deux points connus? Retrouvons nos chers points \(A\) et \(B\) de coordonnées respectives \((x_A\, ; y_A)\) et \((x_B \, ; y_B)\) dans un plan muni d'un repère. Algébriquement, un coefficient directeur se détermine grâce aux coordonnées de deux points donnés (ou relevés sur la droite): \(\alpha = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) Il est évident que l'on peut choisir n'importe quel couple de points appartenant à la droite et le fait que \(x_A\) soit plus petit ou plus grand que \(x_B\) n'a strictement aucune importance. On peut donc inverser l'ordre des termes dans l'expression de \(a, \) du moment que cette inversion s'opère au numérateur ET au dénominateur. Une fois que l'on connaît \(a, \) il suffit d'utiliser l'équation de la droite en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de l'un des deux points connus et le coefficient \(a\) par la valeur trouvée.
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