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(n + 1) α n α 0 0 ≤ vn+1 ≤ vn0. (n + 1) α n α 0 (n0 + 1) α Prenons maintenant α ∈]1, 3/2[. Par comparaison à une série de Riemann, la série de terme général (vn) converge. On vient donc de voir deux phénomènes très différents de ce qui peut se passer dans le cas limite de la règle de d'Alembert. Le second résultat est un cas particulier de ce que l'on appelle règle de Raabe-Duhamel. Exercice 8 - Un cran au dessus! - L2/Math Spé - ⋆⋆ 1. Il faut savoir que la suite des sommes partielles de la série harmonique est équivalente à ln n. On utilise ici seulement la minoration, qui se démontre très facilement par comparaison à une intégrale: 1 + 1 1 + · · · + 2 n ≥ n+1 dx = ln(n + 1). 1 x On peut obtenir une estimation précise du dénominateur également en faisant une comparaison à une intégrale. Le plus facile est toutefois d'utiliser la majoration brutale suivante: ln(n! ) = ln(1) + · · · + ln(n) ≤ n ln n. Il en résulte que un ≥ 1 n, et la série un est divergente. On majore sous l'intégrale. En utilisant sin x ≤ x, on obtient (on suppose n ≥ 2): 0 ≤ un ≤ La série un est convergente.
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Règle de Kummer [ modifier | modifier le code] La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit [ 4], [ 5]: Soient ( u n) et ( k n) deux suites strictement positives. Si ∑1/ k n = +∞ et si, à partir d'un certain rang, k n u n / u n +1 – k n +1 ≤ 0, alors ∑ u n diverge. Si lim inf ( k n u n / u n +1 – k n +1) > 0, alors ∑ u n converge. Henri Padé a remarqué en 1908 [ 6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs [ 2]. Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand [ 7] (en prenant k n = n ln ( n)), dont le critère de Gauss [ 8], [ 9] est une conséquence. Notes et références [ modifier | modifier le code] ↑ (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 ( ISBN 978-1556080104, lire en ligne). ↑ a et b Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité. ↑ (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, 1908 ( lire en ligne), p. 33, exemple 2.
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En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel. Énoncé [ modifier | modifier le code] Règle de Raabe-Duhamel [ 1] — Soit une suite de réels strictement positifs. Si (à partir d'un certain rang), alors diverge. S'il existe tel que (à partir d'un certain rang), alors converge. Cette règle est un corollaire immédiat [ 2] de celle de Kummer (section ci-dessous). Dans le cas particulier où la suite admet une limite réelle α, ce qui équivaut à, la règle de Raabe-Duhamel garantit que: si α < 1, diverge; si α > 1, converge. Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure. Exemple [ modifier | modifier le code] Soient. La série de terme général est divergente si et convergente si [ 3]. En effet:.
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\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta}, \ \alpha, \beta\in\mathbb R. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}xdx. $$ \[ u_n=(-1)^n \int_0^\pi \frac{\sin t}{n\pi+t}dt. \] Démontrer alors que $\sum u_n$ est convergente. Démontrer que $|u_n|\geq \frac2{(n+1)\pi}$ pour tout $n\geq 1$. En déduire que $\sum_n u_n$ ne converge pas absolument. Enoncé Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n}, $$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, $a\neq 0$. Enoncé Suivant la position du point de coordonnées $(x, y)$ dans le plan, étudier la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{x^n}{y^n+n}. $$ Enoncé On fixe $\alpha>0$ et on pose $u_n=\sum_{p=n}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p^\alpha}$. Le but de l'exercice est démontrer que la série de terme général $u_n$ converge. Soit $n\geq 1$ fixé. On pose $$v_p=\frac{1}{(p+n)^\alpha}-\frac{1}{(p+n+1)^\alpha}. $$ Démontrer que la suite $(v_p)$ décroît vers 0. En déduire la convergence de $\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^pv_p$.
Knopp précise même que c'est dans les Werke (Oeuvres) tome III, 1812. Cela dit, je ne me suis jamais beaucoup intéressé à toutes ces "règles" qui sont de peu d'utilité dans les études de séries qui nous sont généralement proposées, et l'extension aux complexes me semble plus scolastique que proprement mathématique. Bonne soirée. RC
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Comme expliqué dans mon article sur la coloration des cheveux au henné, ça fait quelques temps que je me suis tournée vers des produits de beauté plus naturels. Or, quand on a cette idée en tête, quoi de mieux que de préparer ses propres cosmétiques me diriez-vous? Et bien c'est ce que j'ai fait. A noël, j'ai commandé le joli coffret cosmétique maison Belle à croquer de chez Aroma-zone et c'est finalement en mars que je me suis jetée à l'eau et que j'ai commencé à créer mes 2 premiers cosmétiques maisons. Très excitée par cette expérience, je ne pensais pas que créer ses propres cosmétiques demandait autant de savoir faire. Voici donc le récit de ma première expérience cosmétique maison avec le beau coffret Belle à Croquer! Coffret Cocooning - Cosmétique Maison - Coffret cosmétique - Creavea. Livré avec un joli guide illustré expliquant comment réaliser 11 recettes naturelles, le coffret Belle à croquer comprend les ingrédients pour réaliser au moins 5 d'entre elles. D'après la FICHE CONSEIL AZ, il y a 3 combinaisons de 5 recettes possibles. En analysant les quantités d'ingrédient fournies et demandées par les différentes recettes, j'ai réussi à créer ma propre combinaison de 7 produits réalisables (oui j'aime bien les challenges).
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Alors, si vous vous êtes toujours demandé comment avoir des cheveux longs en 5 minutes et le tout sans que les gens qui ne vous connaissent pas ne le remarque, voici la réponse. Le déodorant est un produit très utilisé dans notre vie quotidienne. De nombreuses marques en proposent et jurent une efficacité exceptionnelle. Or, de tels produits utilisent des composants chimiques qui, pour certains, sont accusés d'être mauvais pour la santé et même d'être la cause de certains cancers du sein. Ainsi, pour éviter ce type de produit, je me suis intéressée aux déodorants naturels. 10 idées de cadeaux à offrir à sa sœur | Cmonanniversaire. J'ai testé 2 remèdes de grand-mère: la pierre d'alun et le bicarbonate de soude. Tous deux sont plébiscités dans plusieurs forums et sites internet. Mais peut-on dire que ces produits agissent comme un déodorant naturel efficace? Nous avons tous des articles fétiches dont on ne peut se séparer. Pour moi, cet article est définitivement mon premier jean slim. Pratique et parfait sur ma silhouette en « H » (comme dirait Cristina Cordula dans « Nouveau look pour une nouvelle vie »), le slim s'est très rapidement transformé en « must have » de notre garde robe.
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Je t'annonce qu'il s'est passé au moins 20 bonnes minutes. Ensuite, tu mélanges les autres ingrédients, de la poudre, des actifs… que tu prélève avec une petite cuillère minuscule. Tu rigoles nerveusement quand tu dois prélever genre 2, 5 cuillères. Le "virgule 5" tu le fais au pif, je te rassure, sinon tu piques une crise. A noter qu'une des poudre était dure comme tu béton, pourtant elle était pas périmée, j'ai dû y aller au couteau… Quand t'as pas d'pot… (t'as compris? Les cosmétiques naturel de belle à croquer - SPOKE | Digital Agency specialized in Social Media. ) Puis tu laisses reposer 15 minutes, le temps de boire un bon café! je t'ai dit à quel point j'aimais le café? Maintenant, il faut transvaser le mélange, dans les récipients mascara et eyeliner. Vu m'on expérience plus haut avec la pipette, tu te doutes bien que ce fut un peu compliqué, surtout que je ne voulais pas perdre du produit. Après autant de difficultés, je les voulais moi mes produits! J'ai même appelé Joe à la rescousse car je perdais patience. On a mis du temps… Petit carnage Je te rassure, les choses ont bien finies et on a beaucoup ri à les faisant!
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