Fonctions Convexes/Définition Et Premières Propriétés — Wikiversité, Panier Velo Pour Chien Klickfix

Le second point se déduit du premier en remplaçant par l'application. Supposons donc désormais décroissante (strictement). D'après la propriété 6, f, étant convexe sur l'intervalle ouvert I, sera continue sur I. Comme, de plus, f est strictement décroissante sur I, on en déduit que f est bijective sur I. Par conséquent f -1 existe. Soit a, b ∈ f(I), posons c = f -1 (a) et d = f -1 (b). Comme f est convexe, on a: f étant décroissante, f –1 sera aussi décroissante et par conséquent, on en déduit: c'est-à-dire: Ce qui montre que f -1 est convexe. Propriété 8 Soit une fonction convexe. Pour toute fonction, si est convexe et croissante alors la composée est convexe; si est concave et décroissante alors est concave. Le second point se ramène au premier en remplaçant par. Inégalité de convexité démonstration. Supposons donc désormais convexe et croissante. Soient et. Par convexité de, donc, par croissance de, et en appliquant la convexité de au second membre, on obtient:. Propriété 9 Si une fonction est logarithmiquement convexe, c'est-à-dire si est convexe, alors est convexe.

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4). Mais on peut aussi en donner une preuve directe: Notons l'intégrale de. Alors,. Si est une extrémité de, la fonction est constante presque partout et le résultat est immédiat. Supposons donc que est intérieur à. Dans ce cas (propriété 10 du chapitre 1) il existe une minorante affine de qui coïncide avec au point: Composer cette minoration par, qui est intégrable et à valeurs dans, permet non seulement de montrer que l'intégrale de est bien définie dans (celle de sa partie négative étant finie), mais aussi d'établir l'inégalité désirée par simple intégration:. On déduit entre autres de ce théorème une forme intégrale de l'inégalité de Hölder qui, de même, généralise l'inégalité de Hölder discrète ci-dessus: cf. Leçon 253 (2020) : Utilisation de la notion de convexité en analyse.. Exercice 1-5.

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Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition: pour tout $(x_{1}, \dots, x_{n})\in I^{n}$, pour tout $(\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n})\in[0, 1]^{n}$ tel que $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}=1$, on a $f(\lambda_{1}x_{1}+\dots+\lambda_{n}x_{n})\leqslant\lambda_{1}f(x_{1})+\dots+\lambda_{n}f(x_{n})$. La proposition est trivialement vraie pour $n=1$ puisque $\lambda_{1}=1$. Inégalité de Jensen — Wikipédia. La proposition est vraie pour $n=2$ par définition de la convexité. Soit $n\geqslant1$ tel que la proposition $\mathcal{H}(n)$ est vraie. Soit $(x_{1}, \dots, x_{n+1})\in I^{n+1}$ et soit $(\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n+1})\in[0, 1]^{n+1}$ tel que $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n+1}=1$. Si $\lambda_{n+1}=1$ alors $\lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0$ et l'inégalité est vérifiée. Si $\lambda_{n+1}\ne1$ alors $\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}=1-\lambda_{n+1}\ne0$ et on a: $$\begin{array}{rcl} f(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{n}x_{n}+\lambda_{n+1}x_{n+1}) & = & \ds f\left((1-\lambda_{n+1})\left[\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}x_{1}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}x_{n}\right]+\lambda_{n+1}x_{n+1}\right) \\ & \leqslant & \ds (1-\lambda_{n+1})f\left(\frac{\lambda_{1}}{1-\lambda_{n+1}}x_{1}+\dots+\frac{\lambda_{n}}{1-\lambda_{n+1}}x_{n}\right)+\lambda_{n+1}f(x_{n+1}) \end{array}$$d'après la proposition $\mathcal{H}(2)$ (ou la convexité).

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Développement choisi: (par le jury) Projection sur un convexe fermé Autre(s) développement(s) proposé(s): Pas de réponse fournie. Liste des références utilisées pour le plan: Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques): - Dessinez ce que représente la caractérisation du projeté avec le produit scalaire dans le plan. - Vous dites que Ker(f) est fermé car f est une forme linéaire continue. Que se passe-t-il si f n'est pas supposée continue? (il est dense dans H) - On travaille dans un espace vectoriel E quelconque, et on prends F de dimension finie. On prends F sev fermé. Le théorème s'applique-t-il toujours? A-t-on toujours E = F (+) F^orthogonal? (Le théorème ne s'applique pas puisque nous ne sommes pas dans un espace de Hilbert, mais le théorème reste vrai en prenant par exemple une base orthogonale de F et en caractérisant le projeté à l'aide du produit scalaire). Inégalité de convexité ln. - On admet l'inégalité, pour a et b réels, (|a|^4 + |b|^4)/2 - |(a+b)/2|^4 |>= |a-b|^4 / 16 (se démontre à la main avec le binôme).

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Voici un cours pratique sur la convexité réalisé par des ambassadeurs Superprof qui ont lancé leur application de e-learning, Studeo: preview exclusive pour Superprof! Il se décompose en deux temps: une vidéo de cours de 5 minutes pour comprendre les points clés, un exercice d'application et sa vidéo de correction pour maîtriser la méthode. 1) Les inégalités: simple - le cours en Terminale Vidéo Antonin - Cours: À retenir sur ce point de cours: Traduction de la relation courbe-sécante - Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors pour tous réels et de et pour tout on a: - Si est une fonction concave sur un intervalle alors pour tous réels et de et pour tout on a: Démonstration au programme Version courte de la démo: Soit deux réels et et soit un réel de. Soit et. Alors le point appartient au segment, sécante de. étant convexe, cette sécante est située au dessus de. est donc situé au dessus du point D'où. Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen — Wikiversité. Lien logique entre Convexité et Concavité est convexe sur si et seulement si est concave sur.

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