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1. Équation de diffusion Soit une fonction u(x, t) représentant la température dans un problème de diffusion thermique, ou la concentration pour un problème de diffusion de particules. L'équation de diffusion est: où D est le coefficient de diffusion et s(x, t) représente une source, par exemple une source thermique provenant d'un phénomène de dissipation. On cherche une solution numérique de cette équation pour une fonction s(x, t) donnée, sur l'intervalle [0, 1], à partir de l'instant t=0. La condition initiale est u(x, 0). Sur les bords ( x=0 et x=1) la condition limite est soit de type Dirichlet: soit de type Neumann (dérivée imposée): 2. Méthode des différences finies 2. Introduction aux transferts thermiques/Équation de la chaleur — Wikiversité. a. Définitions Soit N le nombre de points dans l'intervalle [0, 1]. On définit le pas de x par On définit aussi le pas du temps. La discrétisation de u(x, t) est définie par: où j est un indice variant de 0 à N-1 et n un indice positif ou nul représentant le temps. Figure pleine page La discrétisation du terme de source est On pose 2. b. Schéma explicite Pour discrétiser l'équation de diffusion, on peut écrire la différence finie en utilisant les instants n et n+1 pour la dérivée temporelle, et la différence finie à l'instant n pour la dérivée spatiale: Avec ce schéma, on peut calculer les U j n+1 à l'instant n+1 connaissant tous les U j n à l'instant n, de manière explicite.
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Théorie analytique de la chaleur (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site BibNum.
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Ces problèmes sont mal posés et ne peuvent être résolus qu'en imposant une contrainte de régularisation de la solution. Généralisations [ modifier | modifier le code] L'équation de la chaleur se généralise naturellement: dans pour n quelconque; sur une variété riemannienne de dimension quelconque en introduisant l' opérateur de Laplace-Beltrami, qui généralise le Laplacien. Notes et références [ modifier | modifier le code] Notes [ modifier | modifier le code] ↑ Si le milieu est homogène sa conductivité est une simple fonction de la température,. Equation diffusion thermique.com. Alors elle ne dépend de l'espace que via les variations spatiales de la température:. Si dépend très peu de (), alors elle dépend aussi très peu de l'espace. Références [ modifier | modifier le code] ↑ Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, connu à travers un abrégé paru en 1808 sous la signature de Siméon Denis Poisson dans le Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris, t. I, p. 112-116, n°6.
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Supposons λ = 0. Il existe alors de même des constantes réelles B, C telles que X ( x) = Bx + C. Une fois encore, les conditions aux limites entraînent X nulle, et donc T nulle. Equation diffusion thermique calculation. Il reste donc le cas λ > 0. Il existe alors des constantes réelles A, B, C telles que Les conditions aux limites imposent maintenant C = 0 et qu'il existe un entier positif n tel que On obtient ainsi une forme de la solution. Toutefois, l'équation étudiée est linéaire, donc toute combinaison linéaire de solutions est elle-même solution. Ainsi, la forme générale de la solution est donnée par La valeur de la condition initiale donne: On reconnait un développement en série de Fourier, ce qui donne la valeur des coefficients: Généralisation [ modifier | modifier le code] Une autre manière de retrouver ce résultat passe par l'application de théorème de Sturm-Liouville et la décomposition de la solution sur la base des solutions propres de la partie spatiale de l'opérateur différentiel sur un espace vérifiant les conditions aux bords.
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Ici, l'équation de la chaleur en deux dimensions permet de voir que l'interaction entre deux zones de températures initiales différentes (la zone haute en rouge est plus chaude que la zone basse en jaune) va faire que la zone chaude va se refroidir graduellement, tandis que la zone froide va se réchauffer, jusqu'à ce que la plaque atteigne une température uniforme.
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Une variante de cette équation est très présente en physique sous le nom générique d' équation de diffusion. On la retrouve dans la diffusion de masse dans un milieu binaire ou de charge électrique dans un conducteur, le transfert radiatif, etc. Elle est également liée à l' équation de Burgers et à l' équation de Schrödinger [ 2].
Contrairement au schéma explicite, il est stable sans condition. En revanche, les à l'instant n+1 sont donnés de manière implicite. Il faut donc à chaque instant n+1 résoudre le système à N équations suivant: Ce système est tridiagonal. On l'écrit sous la forme: À chaque étape, on calcule la matrice colonne R et on résout le système. Pour j=0 et j=N-1, l'équation est obtenue par la condition limite. On peut aussi écrire le membre de droite sous la forme: ce qui donne la forme matricielle 2. d. Analyse de stabilité de von Neumann L'analyse de stabilité de von Neumann ( [2] [3]) consiste à ignorer les conditions limites et le terme de source, et à rechercher une solution de la forme suivante: Il s'agit d'une solution dont la variation spatiale est sinusoïdale, avec un nombre d'onde β. Toute solution de l'équation de diffusion sans source et sans condition limite doit tendre vers une valeur uniformément nulle au temps infini. Méthode. La méthode numérique utilisée est donc stable si |σ|<1 quelque soit la valeur de β.