Examen Corrigé Equations Aux Dérivées Partielles 1, Univ Saida, 2019 - Équations Différentielles Ordinaires 1&Amp;2 - Exoco-Lmd / Peindre Un Mur Au Pistolet

\mathbf 3. \left\{ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&x^2y\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&xy^2. Dérivées partielles d'ordre supérieur Enoncé Calculer les dérivées partielles à l'ordre 2 des fonctions suivantes: $f(x, y)=x^2(x+y)$. $f(x, y)=e^{xy}. $ Enoncé Pour $(x, y)\neq (0, 0)$, on pose $$f(x, y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}. $$ $f$ admet-elle un prolongement continu à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^1$ à $\mathbb R^2$? $f$ admet-elle un prolongement $C^2$ à $\mathbb R^2$? Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$ et $r\in\mtr$. On dit que $f$ est homogène de degré $r$ si $$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ \forall t>0, \ f(tx, ty)=t^rf(x, y). $$ Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré $r-1$. Montrer que $f$ est homogène de degré $r$ si et seulement si: $$\forall (x, y)\in\mtr^2, \ x\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=rf(x, y).

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Dérivées partielles, Dérivées suivant un vecteur Enoncé Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer. $f(x, y)=e^x\cos y. $ $f(x, y)=(x^2+y^2)\cos(xy). $ $f(x, y)=\sqrt{1+x^2y^2}. $ Enoncé Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(t)=f(2+2t, t^2)$. Démontrer que $g$ est $C^1$ et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$. On définit $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $h(u, v)=f(uv, u^2+v^2)$. Démontrer que $h$ est $C^1$ et exprimer les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial u}$ et $\frac{\partial h}{\partial v}$ en fonction des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$. Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $\mtr^2$. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes: $g(x, y)=f(y, x)$. $g(x)=f(x, x)$. $g(x, y)=f(y, f(x, x))$. $g(x)=f(x, f(x, x))$. Enoncé On définit $f:\mathbb R^2\backslash\{(0, 0)\}\to\mathbb R$ par $$f(x, y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/4}}.

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Différentielle dans $\mathbb R^n$ Enoncé Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur différentielle $f(x, y)=e^{xy}(x+y)$. $f(x, y, z)=xy+yz+zx$. $f(x, y)=(y\sin x, \cos x)$. Enoncé Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur matrice jacobienne. $\dis f(x, y, z)=\left(\frac{1}{2}(x^2-z^2), \sin x\sin y\right). $ $\dis f(x, y)=\left(xy, \frac{1}{2}x^2+y, \ln(1+x^2)\right). $ Enoncé Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ définie par $f(x, y)=\sin(x^2-y^2)$ et $g:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ définie par $g(x, y)=(x+y, x-y)$. Justifier que $f$ et $g$ sont différentiables en tout vecteur $(x, y)\in\mathbb R^2$, puis écrire la matrice jacobienne de $f$ et celle de $g$ en $(x, y)$. Pour $(x, y)\in\mathbb R^2$, déterminer l'image d'un vecteur $(u, v)\in\mathbb R^2$ par l'application linéaire $d(f\circ g)((x, y))$ en utilisant les deux méthodes suivantes: en calculant $f\circ g$; en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. Enoncé On définit sur $\mtr^2$ l'application suivante: $$f(x, y)=\left\{ \begin{array}{cc} \dis\frac{xy}{x^2+y^2}&\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\\ \dis0&\textrm{ si}(x, y)=(0, 0).

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C'est en effectuant des mouvements réguliers de 20 à 30 cm du support que l'on peint au pistolet. La bonne viscosité de la peinture est également essentielle pour une bonne application ainsi que la préparation du support et du pistolet. Suivez les étapes pour bien peindre au pistolet à peinture. Caractéristiques importantes Protéger les surfaces qui ne sont pas à peindre Préparer le pistolet et la peinture Appliquer la peinture au pistolet Nettoyer le pistolet, la buse et le godet Enlever les protections et nettoyer Voir les pistolets à peinture! Vous souhaitez peindre vos plafonds, rafraichir vos murs ou rénover vos bois extérieurs? Pour gagner du temps, peindre sans traces de rouleaux et sans démarcation, le choix d'un pistolet à peinture est une excellente idée. Le pistolet vaporise uniformément la peinture ou la lasure et fait de plus en plus partie de l' équipement du peintre parmi les pinceaux et les rouleaux. Le pistolet de peintre offre de nombreux avantages: résultat rapide, finition plus nette et uniforme, séchage rapide.

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Nécessite un masquage et une préparation importants: "Les pulvérisateurs ont toujours un certain niveau de surpulvérisation, il faut donc masquer toute la surface à peindre. Astuces pour peindre avec un pistolet à peinture Des couches légères et de la patience pour éviter les coulures Le seul moyen sûr d'éviter les coulures sur une surface verticale est de pulvériser une couche légère et de lui laisser un peu de temps de séchage avant la suivante. C'est difficile à faire si vous peignez les surfaces dans un ordre aléatoire, mais facile si vous avez une stratégie. Comment peindre au pistolet: Commencez par recouvrir chaque surface verticale. Pulvérisez la peinture légèrement pour éviter les coulures. Traitez ensuite les surfaces horizontales avant de commencer la deuxième série. Répétez chaque tour dans le même ordre. De cette façon, chaque surface aura un temps de séchage maximal avant que vous n'y reveniez. Si une surface verticale semble encore humide, arrêtez-vous et rappelez-vous ceci: Cinq minutes supplémentaires de séchage maintenant valent mieux que de poncer les coulures et de repeindre plus tard.

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Veillez à bien nettoyer votre pistolet après usage. Remplissez le réservoir avec de l'eau ou un solvant (en fonction de la peinture utilisée) et pulvérisez pour purger le circuit.

Le viscosimètre permet de déterminer la viscosité de la peinture en mesurant le temps d'écoulement d'un volume précis de liquide au travers d'une buse. Pour savoir si votre peinture est suffisamment liquide, référez-vous au tableau de correspondances fourni. Si votre peinture est trop épaisse, vous pouvez la diluer mais pas au-delà de 5 à 10%. Recommencez le test jusqu'à ce que la peinture atteigne la viscosité demandée. Si vous avez trop dilué la peinture, ajoutez de la peinture non diluée pour l'épaissir à nouveau. Une fois la peinture à la viscosité demandée, versez-la dans le godet ou réservoir du pistolet et vissez ce dernier sur la base. Vous pouvez ensuite régler la pression du pistolet et la buse en vous servant d'un carton pour tester le jet et ajuster au besoin la buse. S'il est à gravité, vous devez toujours tenir votre pistolet verticalement et quel qu'il soit, vous devez le tenir de 20 à 30 cm de la surface à peindre. Déplacez-vous parallèlement à la surface en prenant soin de ne pas rester trop longtemps à un endroit pour éviter les coulures.