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Arbre Et Loi De Probabilité - Maths-Cours.Fr
La probabilité est une branche des mathématiques. Elle peut être très utile, par exemple pour les jeux de hasard, comme l'explique cette vidéo. Une probabilité, c'est quoi? En mathématiques, on peut prédire le hasard grâce aux probabilités. Par exemple, dans le jeu ci-dessous ( la planche de Galton), les probabilités permettent de calculer les chances que la bille atteigne l'une des colonnes. © Media TV Probabilité: exercice d'application sur une planche de Galton Pour déterminer la probabilité que la bille arrive dans l'une des colonnes en bas de la planche de Galton ci-dessous, il faut déterminer le nombre de chemins qui permettent d'atteindre l'une des colonnes. Exercice arbre de probabilités. © Media TV Ici, 1 seul chemin mène au casque, 4 chemins mènent à la grosse peluche, 6 mènent à la case vide, 4 mènent au ticket de cinéma et 1 chemin mène à l'enceinte. La bille peut donc emprunter 16 chemins différents. Seul 1 de ces 16 chemins permet d'arriver au casque. Il y a ainsi 1 chance parmi 16 d'atteindre ce casque.
Le Paradoxe Des Anniversaires - Progresser-En-Maths
Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0, 6 0, 6. Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne. Partie B: On choisit trois DVD au hasard. Exercice arbre de probabilité. On admet que le nombre de DVD est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité de choisir un DVD reçu en dotation est égale à 0, 2 5 0, 25. Déterminer la probabilité de l'événement: « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation ». (Donner la valeur décimale arrondie au millième). Corrigé Le résultat figure sur l'arbre (branche reliant D D à U U) p D ( U) = 0, 6 5 p_{D}\left(U\right)=0, 65 p ( D ‾) = 1 − p ( D) = 1 − 0, 2 5 = 0, 7 5 p\left(\overline{D}\right)=1 - p\left(D\right)=1 - 0, 25=0, 75 La probabilité pour que le DVD choisi ait été reçu en dotation est égale à p ( D ∩ U) p\left(D \cap U\right): p ( D ∩ U) = p D ( U) × p ( D) = 0, 6 5 × 0, 2 5 = 0, 1 6 2 5 p\left(D \cap U\right)=p_{D}\left(U\right) \times p\left(D\right)=0, 65 \times 0, 25=0, 1625 On recherche p ( U ∩ D ‾) p\left(U \cap \overline{D}\right).
Probabilité, Effectifs, Intersection, Pourcentage, Première
On lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1€, 2€ et 2€. On veut étudier la variable aléatoire X X qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur Pile. Représenter l'expérience par un arbre pondéré. Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X X? Donner la loi de probabilité de X X. Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 3€? Corrigé Pour simplifier la lecture de l'arbre chaque évènement a été représenté par le montant généré (par exemple "1" signifie que la pièce de 1 euro a donné "Pile") Les valeurs prises par la variable aléatoire X X sont: 0 \quad (0+0+0) 1 \quad (1+0+0) 2 \quad (0+2+0 ou 0+0+2) 3 \quad (1+2+0 ou 1+0+2) 4 \quad (0+2+2) 5 \quad (1+2+2) Chaque éventualité (issue) a une probabilité de 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}. Exercice arbre de probabilités et statistiques. Les évènements X = 2 X=2 et X = 3 X=3 correspondent chacun à 2 éventualités. On obtient donc le tableau suivant: x i x_{i} 0 1 2 3 4 5 p ( X = x i) p\left(X=x_{i}\right) 1 8 \frac{1}{8} 1 8 \frac{1}{8} 1 4 \frac{1}{4} 1 4 \frac{1}{4} 1 8 \frac{1}{8} 1 8 \frac{1}{8} On recherche p ( X ⩾ 3) p\left(X\geqslant 3\right).
Existence Si $\(X \)$ est une VAD de support infini, par exemple si $\(X(\Omega) = \left\{x_k, k \in \mathbb{N} \right\}\)$, alors X admet une espérance si la série de terme général $\(x_k \times \mathbb{P}(X=x_k) \)$ est absolument convergente. Dans ce cas, l'espérance de $\(X \)$ est le réel défini par: $\(\mathbb{E}(X)= \sum_{x_k \in X(\Omega)}{x_k \times P(X=x_k)}\)$ Variance d'une VAD Définition Reprenons la VAD $\(X \)$ de support fini $\(X(\Omega) = \left\{ x_k, k \in \mathbb {N}\right\}\)$. La variance de $\(X\)$ est la moyenne des carrés des écarts des valeurs $\(x_i \)$ à l'espérance de $\(X\)$, avec à nouveau comme pondération la probabilité de l'événement $\([X=x_i]\)$: $\(V(X) = \sum_{k=1}^{n}{(x_k - E(X))^2 \times P(X=x_k)}\)$ En pratique En réalité, dans les exercices, on utilisera souvent le théorème suivant pour calculer la variance: On se réfère souvent à cette égalité, comme la formule de Koenig-Huygens. Probabilité, effectifs, intersection, pourcentage, première. Pour aller plus loin: le cas où le support est infini Dans le cas où le support est infini, l'existence de la variance est liée à la convergence absolue de la série de terme général $\({x_k}^2 \times \mathbb{P}(X=x_k)\)$.