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M éthode statistique pour déterminer un paramètre inconnu, en maximisant une probabilité. Ex: Comment déterminer le nombre de poissons d'un étang? Votre ami Pierrot vient d'acheter un étang, et il aimerait bien savoir le nombre N de poissons qui y vivent. Il organise une première pêche, et ramène r poissons. Il marque ces poissons, puis les relâche dans l'étang. Il organise une seconde pêche, et ramène n poissons, dont k sont marqués. Dans un bassin où il y a N poissons, dont r sont marqués, la probabilité quand on en pêche (simultanément) n d'en trouver k qui sont marqués est: (un tirage simultanée de n boules suit une loi hypergéométrique). Pour estimer N, on cherche la valeur de N pour laquelle P N est maximal: c'est l'estimation par le maximum de vraisemblance. Exercice corrigé TD1 : méthode des moments et maximum de vraisemblance pdf. Or: Ce rapport est supérieur à 1 si NKnr. La valeur la plus grande de P N est donc obtenue pour, où [x] désigne la partie entière de x. Application numérique: On se propose de vérifier a posteriori cette estimation par le maximum de vraisemblance.

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\end{align*}\]$ Dans le cas continu i. Exercice maximum de vraisemblance un. d: $\[\begin{align*} p\left(x_{1}, \ldots, x_{n};\theta\right)&=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\\ &=\prod_{i=1}^{n}f_{X_{i}}\left(x_{i}\right)\quad\text{ car les $X_{i}$ sont indépendantes}\\ &=\prod_{i=1}^{n}f\left(x_{i}\right)\quad\text{ car les $X_{i}$ sont de même loi}\. \end{align*}\]$ Maximum de vraisemblance La vraisemblance mesure la probabilité que les observations proviennent effectivement d'un échantillon de loi paramétrée par $\(\theta\)$. Trouver le maximum de vraisemblance consiste donc à trouver le paramètre le plus vraisemblable pour notre échantillon! On considère usuellement la log-vraisemblance (qui facilite les calculs pour des lois de probabilité appartenant à la famille dite exponentielle): $\[\ell\left(x_{1}, \ldots, x_{n};\theta\right)=\ln\left( p\left(x_{1}, \ldots, x_{n};\theta\right)\right)\]$ Application à la loi exponentielle Estimateur du maximum de vraisemblance Soit un échantillon $\(\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\)$ de loi $\(\mathcal{E}\left( \theta\right)\)$.

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A te lire. #7 26-10-2010 08:36:51 Re, je viens d'avoir une début de lueur d'espoir de compréhension. OK, tu as p=0. 37 et tu cherches N, taille de la population d'origine. OK pour la somme de N (inconnu) v. a de bernoulli INDEPENDANTES (important à préciser) de paramètre p, et donc tu formes la prob(m=235). Tu vas trouver une formule compliquée en N => utiliser la formule de Stirling pour approximer les factorielles puis tu appliques le théorème de l'emv. A te lire, freddy Dernière modification par freddy (26-10-2010 08:37:15) #8 27-10-2010 16:29:24 Re, on finit le boulot ( car on n'aime pas laisser trainer un sujet pas fini). Donc p est connu et N est inconnu. On cherche son EMV. On calcule la vraisemblance: [tex]L(N;p, m)=P(m=235)=\frac{N! }{m! (N-m)}\times p^m\times (1-p)^{N-m}[/tex] Pour les factorielles, on utilise l'approximation de Stirling: [tex] N! Exercice maximum de vraisemblance 2018. \equiv \sqrt{2\pi N}\times \left(\frac{N}{e}\right)^N[/tex] On trouve alors la fonction de vraisemblance suivante: [tex]L(N;p, m)=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\times \exp\left((-m-\frac12)\ln(m)+m\ln(p)\right)\times f(N) [/tex] [tex]f(N)=\exp\left((N+\frac12)\ln(N)-(N-m+\frac12)\ln(N-m)+(N-m)\ln(1-p)\right)}[/tex] On prend soin de bien isoler l'inconnue N du reste.

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L'annulation de la dérivée première de L par rapport à N va donner l'emv cherchée: [tex]\ln(N)+\frac{N+\frac12}{N}-\ln(N-m)-\frac{N-m+\frac12}{N-m}+\ln(1-p)=0\; \Leftrightarrow N_{emv}=\frac{1-p}{p}\times m[/tex] pour m=235 et p=37%, on a N=400. Une première estimation (force brute) donnait 635!!! C'est beau, la statistique mathématique, non? Maximum de Vraisemblance. Dernière modification par freddy (27-10-2010 16:33:08) De la considération des obstacles vient l'échec, des moyens, la réussite.