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Thursday, 4 July 2024

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De conférence en rencontres professionnelles, le mathématicien expose son algorithme aux autres mathématiciens et, en 1937, il émet sa conjecture: tous les nombres entiers finissent dans le cycle 421. Aujourd'hui, grâce à la puissance informatique actuelle, les mathématiciens ont appliqué l'algorithme de Collatz à des milliards de milliards de nombres sans jamais prendre en défaut la conjecture. Elle doit donc être vraie. On considère l algorithme ci contre les. Mais on n'arrive pas à le prouver. Car en mathématiques une quantité finie d'exemples, aussi monstrueuse soit-elle, ne vaut pas une preuve lorsque l'hypothèse porte sur une infinité – ici celle des nombres entiers. En revanche un seul contre-exemple prouverait que la conjecture est fausse. La conjecture a été analysé de mille manières mais aucune n'a orienté sur une piste pour la prouver. Les derniers à s'y être risqués sont deux des plus grosses pointures du calcul algorithme. Ils ne l'ont pas (encore) démontrée, mais leur attaque pourrait être la piste tant recherchée – nul ne le sait.

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Mais la logique permet de traiter ces cas par des formules, dites de satisfiabilité. Une limite au calcul Concernant la conjecture de Collatz, Marijn Heule et Scott Aaronson pensent qu'elle fait partie des énoncés mathématiques traduisibles en une série de propositions logiques, du même ordre que « l'invité 1 est incompatible avec 5, 7 ou 21 mais compatible avec 9, 27, 39 »; « l'invité 2 est incompatible avec … »; …; « l'invité N est incompatible avec… ». Si alors le calcul de SATisfiabilité affiche une solution, c'est que la conjecture est valide, s'il n'y a pas de solution, c'est qu'elle est invalide. CQFD! On considère l algorithme ci contre ordinateur. Néanmoins… Cette technique SAT demande de transformer l'énoncé de la conjecture en de telles propositions logiques, ce qui est loin d'être évident. Surtout il ne faut pas que le nombre de propositions et de conditions soit trop élevé car les problèmes SAT demandent tant de calculs qu'ils peuvent rapidement devenir intraitables, même par ordinateur. Pour traduire sans trahir il faut réécrire C'est à Scott Aaronson qu'est revenu le travail de traduction.

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Exemple 1: Multiplication d'une matrice par un vecteur Le premier problème auquel nous allons nous intéresser est celui qui consister à multiplier une matrice A de grande taille (n×n) par un vecteur v de taille n. Il s'agit donc de calculer $\[Av = x\]$ avec $\[x = (x_1,..., x_n)\]$ et $\[x_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}v_j\]$ Vous êtes peut-être en train de vous dire que c'est un joli problème mathématique mais bien loin de vos préoccupations! Et bien en fait, pas tant que cela! Sachez tout d'abord que c'est en grande partie pour ce problème que MapReduce a été conçu chez Google car c'est une opération nécessaire au calcul du fameux PageRank, utilisé pour ordonnancer les résultats d'une recherche Web. On considère l algorithme ci contre de la. Dans ce cas, $\(n\)$ est le nombre de pages web indexées... oui, un vrai problème big data! De plus, c'est une opération très commune, que l'on retrouve dans de nombreux problème et notamment dans les algorithmes du data scientist. Pour ce problème, la vraie question est la manière dont nous allons représenter la matrice $\(A\)$ et donc la forme de l'entrée donnée à MapReduce.

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En réalité, son choix a été de formuler un problème équivalent à celui de Collatz (ou qui le contient) qui soit plus facile à traduire en propositions de type SAT. Les travaux précédents de Heule leur ont alors montré que la voie passe par la technique du système de réécriture. On considère la figure ci-contre ( non à l’échelle) . Montrer que BD est la bissectrice de l’angle ABC?. Un système de réécriture est un jeu formel avec une chaîne de symboles, par exemple ACBAABBCABBA, et des règles de « réécriture » comme: 1) « toute paire AC est remplacée par BC », 2) « toute paire BC est remplacée par AAA », 3) « toute paire AA est remplacé par C ». Dans l'exemple, ACBAABBCABBA se réécrit BC BAABBCABBA en vertu de la règle 1, puis AAA BAAB AAA ABBA selon 2, puis C AB C B CC BBA selon 3, puis CA AAAAAA CBBA selon 2, C CCC ACBBA selon 3, CCCC BC BBA selon 1, etc. La question est alors: la réécriture s'arrêtera-t-elle (les règles n'agissant plus) ou se poursuivra-t-elle indéfiniment? Si cette question semble proche de celle posée par la conjecture de Collatz ce n'est pas un hasard, c'est justement que la dynamique d'un système de réécriture est la même que celle de la conjecture.

Pour régler le problème, ajouter la ligne suivante au début de vos programmes: # -*- coding: utf-8 -*- Exercice 2: Le programme suivant permet de récupérer et afficher la date actuelle et de demander une date à l'utilisateur: from datetime import datetime ();; # ja, ma, et aa sont: jour, mois et année actuels print("Nous sommes le: "+str(ja)+"/"+str(ma)+"/"+str(aa)) dn=input('Votre date de naissance? (format jj/mm/aaaa):') ('/'); jn=int(dn[0]);mn=int(dn[1]);an=int(dn[2]) # jn, mn, et an sont: jour, mois et année de naissance saisis Tester le programme précédent. Compléter le programme pour qu'il affiche les différentes valeurs des jours, mois et années. Compléter le programme pou qu'il demande à l'utilisateur sa date de naissance et affiche en retour son age. Compléter ce programme pour qu'il affiche dans combien de mois est l'anniversaire de la personne. 3. On considère la figure ci-contre où DAE=30°. a) Quelles est la nature des triangles ACE et AED ? Justifier. b) Justifier, avec des calculs et une. (et un message spécial si l'anniversaire est ce mois, dans quel cas on affiche dans combien de jours est la fête). Exercice 3: Qu'affiche le programme suivant: n=int(input("Entrer n: ")) c=0 for i in range(n+1): c=c+1 print("c= ", c) Remarque: la variable c précédente s'appelle un compteur, et permet donc de compter à chaque fois que le programme "passe" par cette ligne.