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Sunday, 25 August 2024

Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien: exp (x) = 1 ⇔ exp (x) = exp (0) ⇔ x = 0 4/ Inéquations de la fonction exponentielle exp (a) Sens réciproque: si a R: exp(a) Soient a et b réels tels que: exp(a) Montrons par l'absurde que a Supposons a > b on aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R: exp(a) > exp(b). Ce qui est contraire à l'hypothèse: exp(a). Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n° 2: Quels que soient a et b réels: exp(a) exp(b) ⇔ a b Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle. Les fonction exponentielle terminale es www. Si l'inéquation est par exemple: exp (x) > 3 3 > 0 donc il peut être écrit: 3 = exp (ln 3) Et l'inéquation devient: exp (x) > exp (ln3) ⇔ x > ln 3 Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est.

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k k est un quotient de fonctions dérivables sur R \mathbb R, elle est donc dérivable sur R \mathbb R. On a k ′ ( x) = f ′ ( x) g ( x) − f ( x) g ′ ( x) g ( x) 2 = 0 k'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}=0 car f ′ = f f'=f et g ′ = g g'=g. Donc k k est constante sur R \mathbb R. Or k ( 0) = f ( 0) g ( 0) = 1 k(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=1 et ce quelque soit x ∈ R x\in \mathbb R. Ainsi, on a k ( x) = 1, ∀ x ∈ R k(x)=1, \ \forall x\in \mathbb R Et donc f ( x) = g ( x), ∀ x ∈ R f(x)=g(x), \ \forall x\in \mathbb R D'où l'unicité de la fonction f f. Fonction Exponentielle : Terminale Spécialité Mathématiques. Conséquences immédiates: exp ⁡ ( 0) = 1 \exp(0)=1 exp ⁡ \exp est dérivable sur R \mathbb R et exp ⁡ ′ ( x) = exp ⁡ ( x) \exp'(x)=\exp(x). Pour tout x x réel, exp ⁡ ( x) > 0 \exp(x)>0 La fonctions exp ⁡ \exp est strictement croissante sur R \mathbb R. Notation importante: On pose maintenant: e = exp ⁡ ( 1) e=\exp(1) Avec la calculatrice, on a e = 2, 718 281 828 e=2, 718\ 281\ 828 Ce nombre se détermine grâce à la relation e = lim ⁡ n → + ∞ ( 1 + 1 n) n e=\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n II.

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