Arithmétique Des Entiers — Ouibus : Tous Les Trajets Desservis Au Départ Du Centre De La France | Kelbillet
En effet, si \(n\) était impair, son carré devrait être pair: il en suit que \(n\) est forcément pair. Le raisonnement utilisé ici est un raisonnement par contraposée. Nombres premiers Soit \(a\in\mathbb{N}\). On dit que \(a\) est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs distincts, qui sont alors \(1\) et \(a\). On dit que \(a\) est composé s'il est différent de 0 ou 1 et s'il n'est pas premier. Exemple: 2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers. En revanche, 4 n'est pas un nombre premier, puisqu'il possède 3 diviseurs: 1, 2 et 4. Cette définition permet d'exclure 1 de l'ensemble des nombres premiers, ce qui est bien pratique pour le théorème qui suit… Tout entier naturel non nul se décompose de manière unique en produits de facteurs premiers, à l'ordre des facteurs près. Exemple: \(24 = 2 \times 2 \times \times 3 = 2^3 \times 3\) et \( 180 =2^2 \times 3^2 \times 5\). La décomposition en facteurs premiers de \(24 \times 180 \) est donc \(2^3 \times 3 \times 2^2 \times 3^2 \times 5 = 2^5 \times 3^3 \times 5\).
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On pose $r_0=a$ et $r_1=b$. Pour $i\in\mathbb N^*$,
si $r_i\neq 0$, on note $r_{i+1}$ le reste de la division euclidienne de $r_{i-1}$ par $r_i$. Le dernier reste non nul est le pgcd de $a$ et $b$. Si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, le ppcm de $a$ et $b$, noté $a\vee b$, est le plus petit multiple commun
positif de $a$ et $b$. Proposition: Pour tout couple d'entiers relatifs $(a, b)$, on a
$$|ab|=(a\wedge b)(a\vee b). $$
Nombres premiers entre eux
On dit que deux entiers relatifs sont premiers entre eux si leur pgcd vaut 1. Théorème de Bézout:
Soient $(a, b)\in\mathbb Z^2$. On a
$$a\wedge b=1\iff \exists (u, v)\in\mathbb Z^2, \ au+bv=1. $$
Théorème de Gauss:
Soient $(a, b, c)\in\mathbb Z^3$. On suppose que $a|bc$ et $a\wedge b=1$, alors $a|c$. Conséquence: Si $b|a$, $c|a$ et $b\wedge c=1$, alors $bc|a$. Nombres premiers
Un entier $p\geq 2$ est dit premier si ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$. L'ensemble des nombres premiers est infini. Théorème fondamental de l'arithmétique: Tout entier $n\geq 2$ s'écrit de manière unique
$n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ où $p_1 Le théorème des restes chinois peut encore se reformuler de la façon suivante en termes de congruences:
Théorème des restes chinois:
Soit $m$ et $n$ des entiers premiers entre eux. Alors, pour tout $(a, b)\in\mathbb Z^2$, le système
\begin{array}{rcl}
x&\equiv&a\ [m]\\
x&\equiv&b\ [n]
\end{array}\right. $$
admet au moins une solution. De plus, si $x_0$ est une solution particulière, l'ensemble des solutions est $\{x_0+kmn;\ k\in\mathbb Z\}. $ Ne pas confondre avec la structure de corps de nombres en arithmétique. Symbole
Appellation
ensemble des entiers naturels
ensemble des entiers relatifs
ensemble des décimaux
ensemble des rationnels
ensemble des réels
ensemble des complexes
En mathématiques, un ensemble de nombres est l'un des ensembles classiques construits à partir de l'ensemble des entiers naturels et munis d' opérations arithmétiques, apparaissant dans la suite d' inclusions croissante (explicitée ci-contre):
L'expression peut être aussi utilisée pour désigner un sous-ensemble de l'un d'entre eux. En particulier, un corps de nombres est une extension finie du corps des rationnels dans celui des complexes. La notion de nombre est fondée sur l'appartenance à l'un de ces ensembles ou à certaines structures [ 1] reliées comme les algèbres hypercomplexes des quaternions, octonions, sédénions et autres hypercomplexes, le corps des p -adiques, les extensions d' hyperréels et superréels, les classes des ordinaux et cardinaux, surréels et pseudo-réels …
Notes et références [ modifier | modifier le code]
↑ Certaines classes de nombres ne sont en effet pas des ensembles. Il existe alors \(a\in\mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}\) tels que \(\frac{1}{3}=\frac{a}{10^b}\). Ainsi, \(10^b=3a\), ce qui implique que \(10^b\) est un multiple de 3. Ce n'est pas le cas: \(\frac{1}{3}\) ne peut donc pas être un nombre décimal
Pour cette démonstration, nous avons fait une supposition et avons abouti à une contradiction: c'est le principe du raisonnement par l'absurde. Forme irréductible
Soit \(q\) un nombre rationnel non nul. Il existe deux uniques nombres \(a\) et \(b\) tels que \(q=\dfrac{a}{b}\) avec:
\(a\in\mathbb{Z}\)
\(b \in \mathbb{N}\), et \(b\neq 0\)
\(a\) et \(b\) n'ont aucun facteur premier en commun
\(\dfrac{a}{b}\) est appelée la forme irréductible du rationnel \(q\). Exemple: $$\frac{144}{210}=\frac{2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{2\times 2 \times 2 \times 3}{5 \times 7}=\frac{24}{35}$$
Il est évidemment possible d'utiliser les règles de calcul sur les puissances. Exemple: $$\frac{144}{210}=\frac{2^4 \times 3 ^2}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{2^3 \times 3}{5 \times 7}=\frac{24}{35}$$
N'oubliez pas qu'à chaque fois que vous ne simplifiez pas une fraction, un chaton meurt quelque part dans d'atroces souffrances. Cette offre est valable pour des voyages effectués lors des 3 premières semaines de circulation des nouvelles lignes. Ecrit par Alexandre de KelBillet le 4 septembre 2015
A propos de l'auteur: Alexandre de KelBillet
Passionné par le web et la rédaction, j'interviens auprès de KelBillet comme rédacteur web. Bus Londres Paris pas cher dès 26€ | ComparaBUS.com. Amoureux de la Bretagne, de Londres et de la Moselle, je suis un adepte des transports en commun pour m'y rendre. Signe particulier: je sais mieux me repérer à Londres qu'à Rennes, ma ville natale. a écrit 2805 articles sur le blog de KelBillet.Ensemble Des Nombres Entiers Naturels N Et Notions En Arithmétique La
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