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Le théorème des milieux est utilisé dans des raisonnements en géométrie et nous allons voir dans ce cours, les 3 cas de figure. Ce théorème, représente un cas particuli er du Théorème de Thalès et sa Réciproque. Premier Théorème des milieux: Énoncé: » La droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté «. Dans notre cas, M et N représentent respectivement les milieux des deux côtés [AB] et [AC] Donc, les deux droites (MN) et (BC) sont parallèles. A quoi sert ce 1er Théorème? DROITES DES MILIEUX. Ce théorème sert à prouver que deux droites sont parallèles. Exo d'application ( 1er Théorème des milieux): ABC est un triangle. I et J sont respectivement les milieux des deux côtés [AB] et [AC] Est ce que les deux droites (MN) et (BC) sont parallèles? Solution: Dans le triangle ABC on a I et J sont respectivement les milieux des deux côtés [AB] et [AC] D'après le théorème des milieux, la droite (IJ) qui passe par les deux milieux I et J est parallèle au troisième côté du triangle ABC.
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$ Exercice 7 Dans la figure ci-dessus, $ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes de centres $I$ et $J. $ 1) Montrer que les droites $(CE)$ et $(DF)$ sont parallèles (indication: on pourra utiliser $(IJ). $ 2) En déduire la nature du quadrilatère $DFEC. $ Exercice 8 $ABC$ est un triangle, $I$ milieu de $[BC]$, $J$ celui de $[AB]. $ Démontre que $(IJ)\text{ et}(AC)$ sont parallèles en énonçant la propriété utilisée. Exercice 9 $ABC$ est un triangle, $I$ le symétrique de $A$ par rapport à $B\text{ et}J$ milieu de $[AC]. $ Démontre que les droites $(BJ)\text{ et}(IC)$ sont parallèles en énonçant la propriété utilisée. Exercice 10 $ABC$ est un triangle, $I$ milieu de $[BC]$, $J$ un point de $[AB]$ tels que ($IJ)$ parallèle à $(CA). Droite des milieux exercices le. $ Démontre que $J$ est le milieu de $[AB]$ en énonçant le théorème utilisé. Exercice 11 $MNP$ est un triangle rectangle en $M$, $S$ milieu de $[MP]$, la perpendiculaire à $(MP)\text{ en}S$ coupe $[NP]$ en $R. $ Démontre que $R$ est le milieu de $[NP]$ Exercice 12 $OPQ$ est un triangle, $I$ le pied de la hauteur issue de $P.
Par conséquent $K\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$. $S\left(x_S;y_S\right)$ est le symétrique de $A$ par rapport au point $B$. Cela signifie donc que $B$ est le milieu de $[AS]$. Par conséquent $x_B=\dfrac{x_A+x_S}{2}$ et $y_B=\dfrac{y_A+y_S}{2}$ Donc $1=\dfrac{-2+x_S}{2}$ soit $2=-2+x_S$ d'où $x_S=4$ et $-4=\dfrac{3+y_S}{2}$ soit $-8=3+y_S$ d'où $y_S=-11$. Finalement $S(4;-11)$. Exercice 4 On considère les points $A(5;2)$ et $B(-3;7)$. Déterminez les coordonnées du point $C$ tel que $B$ soit le milieu de $[AC]$. Correction Exercice 4 $B$ est le milieu de $[AC]$ par conséquent $x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ et $y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}$. Soit $-3=\dfrac{5+x_C}{2}$ et $7=\dfrac{2+y_C}{2}$ D'où $-6=5+x_C$ et $14=2+y_C$ Donc $x_C=-11$ et $y_C=12$ Exercice 5 On considère les points $E(6;-1)$, $F(-4;3)$ et $G(1;5)$. Déterminez les coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme. Correction Exercice 5 $EFGH$ est un parallélogramme. Exercices WIMS - Géométrie - Droite des milieux.. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu.