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$$ Justifier que l'on peut prolonger $f$ en une fonction continue sur $\mathbb R^2$. Étudier l'existence de dérivées partielles en $(0, 0)$ pour ce prolongement. Enoncé Pour les fonctions suivantes, démontrer qu'elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en $(0, 0)$ sans pour autant y être continue. $\displaystyle f(x, y)=\left\{ \begin{array}{ll} y^2\ln |x|&\textrm{ si}x\neq 0\\ 0&\textrm{ sinon. } \end{array} \right. $ $\displaystyle g(x, y)=\left\{ \frac{x^2y}{x^4+y^2}&\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\\ Fonction de classe $C^1$ Enoncé Démontrer que les applications $f:\mtr^2\to\mtr$ suivantes sont de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$. $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$; $\displaystyle f(x, y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$. Enoncé Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb R^2$, sont-elles de classe $C^1$? $\displaystyle f(x, y)=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$; $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$; $\displaystyle f(x, y)=e^{-\frac 1{x^2+y^2}}\textrm{ si}(x, y)\neq (0, 0)\textrm{ et}f(0, 0)=0$.

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Dérivées partielles, Dérivées suivant un vecteur Enoncé Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer. $f(x, y)=e^x\cos y. $ $f(x, y)=(x^2+y^2)\cos(xy). $ $f(x, y)=\sqrt{1+x^2y^2}. $ Enoncé Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(t)=f(2+2t, t^2)$. Démontrer que $g$ est $C^1$ et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$. On définit $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $h(u, v)=f(uv, u^2+v^2)$. Démontrer que $h$ est $C^1$ et exprimer les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial u}$ et $\frac{\partial h}{\partial v}$ en fonction des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$. Enoncé Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $\mtr^2$. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes: $g(x, y)=f(y, x)$. $g(x)=f(x, x)$. $g(x, y)=f(y, f(x, x))$. $g(x)=f(x, f(x, x))$. Enoncé On définit $f:\mathbb R^2\backslash\{(0, 0)\}\to\mathbb R$ par $$f(x, y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/4}}.

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Conclure, à l'aide de $x\mapsto f(x, x)$, que $f$ n'est pas différentiable en $(0, 0)$. Différentielle ailleurs... Enoncé Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ une application différentiable. Calculer la différentielle de $u:x\mapsto \langle f(x), f(x)\rangle$. Enoncé Soit $f:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ définie par $f(M)=M^2$. Justifer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et déterminer la différentielle de $f$ en tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Enoncé Soit $\phi:GL_n(\mathbb R)\to GL_n(\mathbb R), M\mapsto M^{-1}$. Démontrer que $\phi$ est différentiable en $I_n$ et calculer sa différentielle en ce point. Même question en $M\in GL_n(\mathbb R)$ quelconque. Enoncé Soit $n\geq 2$. Démontrer que l'application déterminant est de classe $C^\infty$ sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. Soit $1\leq i, j\leq n$ et $f(t)=\det(I_n+tE_{i, j})$. Que vaut $f$? En déduire la valeur de $\frac{\partial \det}{\partial E_{i, j}}(I_n)$. En déduire l'expression de la différentielle de $\det$ en $I_n$.

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La ville sera attentive à l'évolution de la situation et se tient prête à ajuster ses pratiques afin de préserver la santé de tous. RENSEIGNEMENTS: Service petite enfance / 01 70 24 90 70

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COMPETENCES REQUISES: • Savoir être force de proposition et avoir un bon sens de la communication. • Être autonome dans l'organisation du travail. • Connaître le cadre réglementaire du fonctionnement des collectivités territoriales. • Savoir mobiliser les compétences autour du projet et le planifier. • Connaître les règles et procédures budgétaires. • Maîtriser les règles de la commande publique. • Maîtriser les grands principes des modes de gestion des services publics locaux. • Être doté. e de compétences managériales, savoir animer et faire vivre un collectif. • Avoir des qualités d'écoute et d'analyse. • Avoir des qualités rédactionnelles. CONTRAINTES DU POSTE: Conditions psychosociales liées à la forte dimension relationnelle, utilisation de l'ordinateur. Mairie de villemomble service petite enfance pas. Grande disponibilité et déplacements sur le territoire. Visites sur les structures. Réunions en soirée. FORMATION: Niveau bac + 3 minimum: DEJEPS, DEES, DEEJE, DUT Carrières sociales, Master en management de l'action sociale, diplômes liés à la petite enfance.

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Cheffe ou chef du service Petite Enfance MISSIONS: 1/ Conduite du management stratégique et opérationnel du service (Gestion des aspects RH, budgétaires, communication, etc. ): Être garant du projet de service en lien avec la règlementation en vigueur concernant l'accueil du jeune enfant, notamment la réforme de 2021-2022. Encadrer les 5 responsables des structures (Multi accueil collectif « les Copains d'abord », Multi accueil collectif « la Ribambelle », Accueil familial, Relais Petite Enfance, Lieu d'Accueil Enfants Parents) et la cellule administrative. Mairie du Haillan - Cheffe ou chef du service Petite Enfance. S'assurer de la conformité et de la mise en œuvre des projets d'établissements et des règlements de fonctionnement. Assurer un suivi de l'offre et de la demande sur le territoire à travers les analyses de l'observatoire. Co-animer la commission d'attribution des places avec l'agent en charge des pré-inscriptions. Piloter les ressources du service, tant sur le volet RH que sur le suivi du budget propre au service. Suivre les travaux du patrimoine liés à la Petite Enfance en lien avec les services techniques.

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34 de la loi "Informatique et Libertés"). Pour l'exercer, adressez vous à: Mairie du Haillan - 137 avenue Pasteur 33185 Le Haillan Cedex Tél: 05 57 93 11 11 Fax: 05 57 93 11 12

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