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Tuesday, 2 July 2024

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\end{array}\right. $$ On note $\bar x$ et $\bar y$ les valeurs moyennes respectives de $(x_i)_{i=1, \dots, n}$ et $(y_i)_{i=1, \dots, n}$. Démontrer que si $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$, alors il existe au plus une droite des moindres carrés, avec $$m=\frac{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2}. $$ On veut désormais prouver l'existence d'une droite des moindres carrés, toujours sous la condition $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$. Pourquoi suffit-il de prouver que $\lim_{\|(m, p)\|\to+\infty}F(m, p)=+\infty$? $$F(m, p)=\sum_{i=1}^n u_i^2(m, p)+v(m, p)+c, $$ où $u_1, \dots, u_n, v$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R^2$ et $c\in\mathbb R$. Démontrer que le rang de $(u_1, \dots, u_n)$ est 2. On suppose que $(u_1, u_2)$ sont indépendantes. Justifier que l'on peut écrire $$F(m, p)=u_1^2(m, p)+au_1(m, p)+u_2^2(m, p)+bu_2(m, p)+c+R(m, p), $$ où $a, b, c\in\mathbb R$ et $R(m, p)\geq 0$. Maximum et minimum d une fonction exercices corrigés pdf au. Justifier que $\|(m, p)\|\to+\infty\implies |u_1(m, p)|+|u_2(m, p)|\to+\infty$.

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Exercice algorithme corrigé les fonctions (Min, Max), tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf. Objectif: Réaliser des Fonctions en Algorithmes Enoncé: 1) Ecrire une fonction max3 qui retourne le maximum de trois entiers 2) Ecrire une fonction min3 qui retourne le minimum de trois entiers 3) Ecrire une fonction max2 qui retourne le maximum de deux entiers 4) Ecrire une fonction max3 qui retourne le maximum de trois entiers en faisant appel à max2 La correction exercice algorithme (voir page 2 en bas) Pages 1 2

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On notera $\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$. On fixe $D$ un disque ouvert de $\mathbb R^2$ et on suppose que $\Delta f\geq 0$. Le but est de démontrer qu'il existe $m_0\in\partial D$ tel que $$\sup_{m\in \overline{D}} f(m)\leq f(m_0). $$ Pour $p\in\mathbb N^*$, on pose $$g_p(m)=f(m)+\frac{\|m\|^2}p. $$ Démontrer qu'il existe un point $m_p\in\overline D$ tel que $$\sup_{m\in \overline D}g(m)=g(m_p). $$ On suppose que $m_p\in D$. Démontrer que $\frac{\partial^2 g_p}{\partial x^2}(m_p)\leq 0$ et $\frac{\partial^2 g_p}{\partial y^2}(m_p)\leq 0$. Maximum, minimum : Seconde - 2nde - Exercices cours évaluation révision. En déduire que $m_p\in\partial D$. Démontrer que $$\sup_{m\in\overline D}f(m)\leq \sup_{m'\in\partial D}f(m'). $$ Conclure. Enoncé Étant donné un nuage de points $(x_i, y_i)_{i=1}^n$, la droite des moindres carrés (ou droite de régression linéaire) est la droite d'équation $y=mx+p$ qui minimise la quantité $$F(m, p)=\sum_{k=1}^n (y_k-mx_k-p)^2. $$ Démontrer que si $(m, p)$ est un couple où ce minimum est atteint, alors $(m, p)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^n (y_k-mx-p)&=&0\\ \sum_{k=1}^n x_k(y_k-mx_k-p)&=&0.

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Application ouverte Enoncé Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb C$, $f$ une fonction holomorphe dans $\Omega$. On suppose que $|f|$ est constant dans $\Omega$. Que dire de $f$? On suppose que $f$ est à valeurs réelles. Que dire de $f$? Enoncé Déterminer tous les réels $x$ vérifiant $1+x^2\leq 10x$. Soit $u$ une fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe (ou étoilé) $\mathcal U$. Démontrer que si $\exp\circ u$ est constante, alors $u$ est constante. Déterminer toutes les fonctions entières $f$ vérifiant, pour tout $z\in\mathbb C$, $$\frac{1+|e^{2f(z)}|}{|e^{f(z)}|}\leq 10. $$ Principe du maximum Enoncé Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert contenant le disque fermé $\overline D(0, 1)$. Variations de fonctions et extremums : cours de maths en 2de à télécharger. On suppose que $$|1-f(z)|\leq |e^{z-1}|$$ quand $|z|=1$. Démontrer que $\frac 12\leq |f(0)|\leq \frac 32$. Enoncé Soit $f$ une fonction holomorphe dans $D(0, R)$, le disque de centre 0 et de rayon $R$. Pour $0\leq r\leq R$, on pose $$M_f(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|. $$ Montrer que $r\mapsto M_f(r)$ est une fonction croissante.

La fonction ne peut pas croitre de $3$ à $2$. Exercice 3 Voici le tableau de variation d'une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$. Décrire les variations de la fonction$g$. Comparer lorsque cela est possible: • $g(-3)$ et $g(-1)$ • $g(1)$ et $g(3)$ Lire le maximum de $g$ sur $[0;4]$ et le minimum de $g$ sur $[-3;4]$. Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction $g$. Correction Exercice 3 La fonction $g$ est décroissante sur les intervalles $[-3;0]$ et $[2;4]$ et croissante sur $[0;2]$. 2nd - Exercices - Variations de fonctions et extremum. $-3$ et $-1$ appartiennent tous les deux à l'intervalle $[-3;0]$ sur lequel la fonction $g$ est décroissante. Par conséquent $g(-3) > g(-1)$. $\quad$ $1$ et $3$ n'appartiennent pas à un intervalle sur lequel la fonction $g$ est monotone. On ne peut donc pas comparer leur image. Le maximum de la fonction $g$ sur $[0;4]$ est $0$. Il est atteint pour $x=2$. Le minimum de la fonction $g$ sur $[-3;4]$ est $-4$. Il est atteint pour $x= 0$. Une représentation possible (il en existe une infinité) est: [collapse]