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1) Les fonctions affines Les fonctions affines sont de la forme $f(x) = ax + b$, elles sont définies et dérivables sur $Df = \mathbb{R}. $ Leur dérivée est donnée par $f'(x) = a$. Si $a = 0$, alors $f(x) = b$ et la représentation graphique de $f$ est une droite horizontale. Si $b = 0$, alors $f(x) = ax$ et la représentation graphique de $f$ est une droite passant par l'origine. Objectifs L'expression $x = c$ n'est pas une fonction. Sa représentation graphique est une droite verticale. 2) La fonction carrée La fonction carrée se note $f(x) = x^{2}$, elle est définie et dérivable sur $Df = \mathbb{R}$. Sa dérivée est $f'(x) = 2x$. 3) La fonction cube La fonction cube se note $f(x) = x^{3}$, elle est définie et dérivable sur $Df = \mathbb{R}. $ Sa dérivée est $f'(x) = 3x^{2}$. 4) La fonction racine carrée La fonction racine carrée se note $f(x) = \sqrt{x}$, elle est définie sur $Df = [0 \text{}; + ∞[$ mais dérivable sur $]0 \text{}; + ∞[. $ Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. La fonction racine carrée n'a pas le même ensemble de définition et de dérivabilité.
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Démonstration: Si et, donne puis comme si, Si, puis comme, Résultat 2 définit une bijection de sur et définit une bijection de sur lui-même. Expression de sa fonction réciproque et dérivabilité. Correction: Existence de la réciproque de la fonction ch. est continue et strictement croissante sur et vérifie, donc définit une bijection de sur. Expression de la réciproque. Première méthode. Soit si, avec. On a vu que. On termine avec donc. Deuxième méthode (plus compliquée) Si, on résout l'équation avec. On obtient l'équation L'équation admet deux solutions: et de somme égale à et de produit égal à 1, donc toutes deux positives si et vérifiant donc, ce qui donne, soit. La fonction réciproque de est la bijection de sur définie par. Elle est notée. La fonction étant dérivable de dérivée non nulle sur, est dérivable sur et en notant soit, on a vu que Résultat 3 définit une bijection de sur lui-même. Démonstration: Existence de la réciproque de la fonction sh. est continue et strictement croissan- te sur et vérifie et, donc définit une bijection de sur.
Fonction inverse La fonction inverse est la fonction f définie sur - {0} par. La fonction inverse est une fonction impaire. Donc, son centre de symétrie est l'origine du repère. Elle est décroissante sur + et décroissante sur -. La courbe représentative de la fonction carrée est une hyperbole. Elle possède une asymptote verticale en x = 0 et une asymptote horizontale d'équation y = 0. En effet, 0 est une valeur interdite (donc asymptote verticale), et elle ne peut pas être nulle (donc asymptote horizontale). Voici sa représentation graphique:
On a trouvé deux valeurs nécessaires et. La solution de l'équation est donc soit. 5. Transformer une expression avec des fonctions circulaires en Maths Sup Soit l'expression à transformer. Commencer par chercher le domaine de définition de la fonction, éventuellement restreindre le domaine d'étude en faisant appel à des considérations de parité. Dans la suite, on note l' ensemble sur lequel on veut simplifier. M1. Si, à vous de choisir entre les changements de variables ou, Sinon, poser. Dans les deux cas, préciser l'ensemble de définition de et de. Utiliser vos formules de trigonométries préférées pour simplifier l'équation et terminer en donnant les résultats en fonction de. ⚠️ n'est qu'une variable auxiliaire qui doit disparaître dans les résultats à la fin. M2. Il est possible aussi de chercher à dériver (en précisant bien le domaine où l'on dérive), simplifier l'expres- sion de et en reconnaissant la dérivée d'une fonction simple, on peut utiliser le résultat suivant: Soient un intervalle et l'intervalle privé de ses bornes.
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