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Saturday, 3 August 2024

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Exercice 1: (6 Pts) Soit \((u_{n})_{n≥1}\) la suite numérique définie par: \(u_{0}=5\) et \(u_{n+1}=\frac{4 u_{n}-9}{u_{n}-2}\) pour tout \(n\) de IN 1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\) 2. a. Montrer par récurrence que pour tout \(n\) de IN: \(u_{n}>3\) 2. b. Montrer que: pour tout \(n\) de IN \(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{(u_{n}-3)^{2}}{u_{n}-2}\) 2. c. En déduire que: \((u_{n})_{n≥1}\) est une suite décroissante. 3. Montre que: la suite \((u_{n})_{n≥1}\) est convergente. pose pour tout \(n\) de IN: \(v_{n}=\frac{1}{u_{n}-3}\) 4. Calculer \(v_{0}\) 4. Calculer \(v_{n+1}-v_{n}\) et en déduire que la suite \((v_{n})_{n≥1}\) est arithmétique de raison 1 4. Examen national économie générale et statistiques 2019 de. Montre que: \(v_{n}=\frac{1}{2}+n\); pour tout \(n\) de IN 5. Vérifier que: pour tout n de IN: \(u_{n}=\frac{3 v_{n}+1}{v_{n}}\) 5. En déduire que: pour tout n de IN: \(u_{n}=\frac{6 n+5}{2 n+1}\) 5. Calculer \(\lim_{n ➝+∞}u_{n}\) Exercice 2: (10 Pts) Partie A On considère la fonction numérique \(g\) définie sur]0;+∞[ par: \(g(x)=x^{2}+2-2 \ln x\) 1.

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– 7 juillet 2020 – Session Normale Partie I Obligatoire: Exercice 1 et Exercice 2 * Exercice 1: (6 pts) * Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite numérique définie par: \(u_{0}=0\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{4} u_{n}-\frac{9}{2}\) pour tout n de IN 1. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\). (0. 5) 2. a. Montrer par récurrence que: pour tout n de IN, \(u_{n}>-6\). 75) 2. b. Montrer que pour tout n de IN: \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{-3}{4}(u_{n}+6)\). c. En déduire que: \((u_{n})_{n∈IN}\), est une suite décroissante. 25) 3. Chapitre 1 : L’approche classique de l’entreprise. Montrer que \((u_{n})_{n∈IN}\), est une suite convergente. 25) 4. On pose pour tout n de IN: \(v_{n}=\frac{1}{3} u_{n}+2\) 4. Calculer \(v_{0}\). Montrer que: \((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{4}\). (1) 4. Donner \(v_{n}\) en fonction de n. pour tout n de. 5) 5. Vérifier que pour tout n de IN: \(u_{n}=3(v_{n}-2)\). En déduire que pour tout n de IN: \(u_{n}=(6((\frac{1}{4})^{n}-1)\). Calculer \(lim_{n➝+∞} u_{n}\). 5) * Exercice 2: (10 pts) * Partie A: On considère la fonction numérique \(g\) définie sur]0;+∞[ par: g(x)=x-1+ln(x) 1.

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Montrer que \(g^{\prime}(x)=2(\frac{x^{2}-1}{x})\) pour tout \(x\) de] 0;+∞[ 2. Etudier le signe de \(g^{\prime}(x)\) sur] 0;+∞[ 3. Calculer \(g(1)\) et dresser le tableau de variations de \(g\) (Le calcul des limites n'est pas demandé) 4. Déduire du tableau de variations que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) de] 0;+∞[ Partie B On considère la fonction numérique \(f\) définie sur]0;+∞[: \(f(x)=\frac{x}{2}+1+\frac{\ln x}{x}\) et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\) 1. Montrer que \(\lim _{x ➝ 0 \atop x>0} f(x)=-∞\) et donner une interprétation géométrique du résultat. 2. Calculer \(\lim _{x ➝+∞} f(x)\) 2. Calculer \(\lim _{x ➝+∞}(f(x)-(\frac{x}{2}+1))\) puis donner une interprétation géométrique du résultat. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de] 0;+∞[ 3. Examen economie générale 2 Bac SGC 2019 Session Rattrapage (Moul L'économie) - 2Bac-economie. Vérifier que: \(f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 x^{2}}\) pour tout \(x\) de] 0;+∞[ 3. En déduire que: \(f\) est croissante sur]0;+∞[ \((D)\) la droite d'équation \(y=\frac{x}{2}+1\) 4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite \((D)\) et de la courbe \((C)\) 4.
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