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On peut avoir les cas suivants: " I I et F F " ou " I I et G G " On cherche toutes les branches menant à I I dans l'arbre, et on additionne les probabilités: P ( I) = P ( F ∩ I) + P ( G ∩ I) = 0, 45 × 0, 3 + 0, 55 × 0, 6 = 0, 465 P(I)=P(F\cap I)+P(G\cap I)=0{, }45\times 0{, }3+0{, }55\times 0{, }6=0{, }465 Remarque: Dans notre exemple de 1 000 1\ 000 élèves, il y a donc 465 465 élèves internes. On peut aussi présenter les données dans un tableau d'effectifs. Exercices maths Terminale ES - exercices corrigés en ligne - Kartable. P F ( I) P_F(I) est la notation de la probabilité d'être interne sachant que l'élève interrogé est une fille. 2. Probabilités conditionnelles Défintion: Soit A A et B B deux évènements avec P ( A) ≠ 0 P(A)\neq 0. La probabilité conditionnelle de B B sachant A A, notée P A ( B) P_A(B) est la probabilité que l'évènement B B se réalise sachant que l'évènement A A l'est déjà. Cette probabilité est définie par: P A ( B) = P ( A ∩ B) P ( A) P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} On résume souvent la définition dans l'arbre suivant, qu'il est important de connaître: On rappelle que A ‾ \overline{A} représente l'évènement contraire de A A.
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PREMIERE PARTIE: Il pêche au hasard un poisson dans l'étang. A) Montrer que la probabilité qu'il pêche un poisson au dessus de la taille réglementaire est de 0. 38. J'ai appelé R ceux qui sont relâchés et qui sont en dessous de la taille et R(barre) ceux qui ne sont pas relâchés et qui sont au dessus de la taille. J'ai donc calculé P(Rbarre) et j'ai bien trouvé 0. 38 B) Sachant qu'un poisson est au dessus de la taille réglementaire, quelle est la probabilité que ce soit un brochet? J'ai calculé P(B) sachant R(barre) est j'ai trouvé environ 0. Exercice de probabilité terminale es histoire. 16 C) A la fin de la journée il a pris 8 poissons. L'étang est suffisamment peuplé pour que ces captures soient considérées comme des tirages successifs indépendants et identiques. Quelle est la probabilité que, sur ces 8 poissons, 5 soient au dessus de la taille réglementaire? J'ai appliqué la loi normale B(8;0, 38) et j'ai trouvé pour P(X=5) environ 0, 11 DEUXIEME PARTIE: Ce pêcheur pense que lorsqu'il met sa ligne à l'eau, il est sûr d'avoir sa première touche avant une heure et que cette première touche peut arriver à tout instant avec les mêmes chances.
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Compléter le tableau suivant. Il est inutile de donner le détail de vos calculs. On arrondira les résultats $10^{-4}$ près. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ n_i&0, 016~8&0, 089~6&&&&0, 123~9&&&\\ \end{array}$ Quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux objets bicolores? Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat obtenu. Correction Exercice 2 On répète $8$ fois une expérience aléatoire. Les événements sont identiques, indépendants. Exercice de probabilité terminale es 8. Chaque événement ne possède que deux issues: $S$ "l'objet est bicolore" et $\conj{S}$. De plus $p(S)=0, 4$ La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0, 4$. $p(X=5)=\ds \binom{8}{5}\times 0, 4^5\times 0, 6^3 \approx 0, 123~9$. On obtient le tableau suivant: n_i&0, 016~8&0, 089~6&0, 209&0, 278~7&0, 232~2&0, 123~9&0, 041~3&0, 007~9&0, 000~7\\ La probabilité d'obtenir au moins deux objets bicolores est: $p=1-\left(p(X=0)+p(X=1)\right)\approx 0, 893~6$ L'espérance de $X$ est $E(X)=np=3, 2$.
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2. Exercices de probabilités de terminale. Loi de probabilité Soit X X une variable aléatoire dont les valeurs sont x 1, x 2, …, x n x_1, \ x_2, \ \ldots, \ x_n. Donner la loi de probabilité de X X, c'est donner pour chaque x i x_i la probabilité P ( X = x i) P(X=x_i) Reprenons l'exemple précédent Les résultats possibles des tirages sont: ( P, 1) ( P, 2) ( P, 3) ( P, 4) ( P, 5) ( P, 6) (P, 1)(P, 2)(P, 3)(P, 4)(P, 5)(P, 6) ( F, 1) ( F, 2) ( F, 3) ( F, 4) ( F, 5) ( F, 6) (F, 1)(F, 2)(F, 3)(F, 4)(F, 5)(F, 6) Il y en a 12 12. Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire X X.
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Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de trois et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire. Donner la loi de probabilité associée à ce gain (positif ou négatif) pour une partie. Calculer l'espérance de la loi déterminée à la question précédente. Le jeu est-il équitable? Correction Exercice 4 Les multiples de $3$ inférieurs ou égaux à $6$ sont $3$ et $6$. On appelle $X$ la variable aléatoire associée au gain. La loi de probabilité de $X$ est donc: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} x_i&-1&-2&3&-4&-5&6\\ p\left(X=x_i\right)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\ L'espérance de $X$ est donc: $\begin{align*} E(X)&=\dfrac{-1}{6}+\dfrac{-2}{6}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{-4}{6}+\dfrac{-5}{6}+\dfrac{6}{6} \\ &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$ Le jeu n'est donc pas équitable. Exercice de probabilité terminale es www. $\quad$
Propriété des probabilités totales: Considérons Ω \Omega l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et A 1, A 2, …, A n A_1, \ A_2, \ \ldots, A_n une partition de Ω \Omega. La probabilité d'un évènement B B quelconque est donné par la formule des probabilités totales: P ( B) = P ( B ∩ A 1) + P ( B ∩ A 2) + … + P ( B ∩ A n) P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\ldots+ P(B\cap A_n) C'esr cette formule que l'on a utilisé "naturellement" dans la question 5. du premier paragraphe. II. Variables aléatoires 1. Rappels On considère l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire: x 1, x 2, …, x n x_1, \ x_2, \ \ldots, \ x_n Définir une variable aléatoire X X, c'est associer à chaque x i x_i un réel. 1ES - Exercices corrigés - lois de probabilité. Exemple: On lance une pièce bien équilibrée et un dé non pipé. Voici les règles du jeu: si on obtient Pile ou 1 ou 2, on gagne 1 €; si on obtient Face et 5 ou 6, on perd 3 €; sinon, on ne gagne ni ne perd rien. On appelle X X le gain à l'issue d'un lancer. On définit alors une variable aléatoire. X X prend trois valeurs: 1 1, − 3 -3, 0 0.