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La stricte croissance de assure que si et si. La fonction est strictement croissante et s'annule en. est strictement décroissante sur et strictement croissante sur. On peut démontrer que et. Étude aux bornes: En utilisant la continuité de en 1, et la relation,, ce qui donne. La courbe admet une asymptote d' équation. Soit et la partie entière de. Par croissance de sur, donc. Cette minoration donne: La courbe représentative de admet une branche parabolique de direction. La fonction est convexe. Intégrale à paramètre exercice corrigé. 6. Autres types de fonctions définies avec une intégrale On se place dans le cas où est définie par, étant continue. 6. Domaine de définition. On cherche le domaine de définition de. On suppose dans la suite que est continue sur. Puis on détermine l'ensemble des tels que et soient définis et tels que le segment d'extrémités et soit inclus dans un intervalle sur lequel est continue. On note le domaine de définition de. ⚠️: les domaines et peuvent être distincts. exemple, est continue sur. Trouver le domaine de définition de.

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On suppose $f$ bornée. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}Lf(x)=0$. Exercices théoriques Enoncé Soit $f$ une application définie sur $[0, 1]$, à valeurs strictement positives, et continue. Pour $\alpha\geq 0$, on pose $F(\alpha)=\int_0^1 f^\alpha(t)dt$. Justifier que $F$ est dérivable sur $\mathbb R_+$, et calculer $F'(0)$. En déduire la valeur de $$\lim_{\alpha\to 0}\left(\int_0^1 f^{\alpha}(t)dt\right)^{1/\alpha}. $$ Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$. On suppose que $f(0)=0$ et on pose, pour $x\neq 0$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Justifier que, pour $x\neq 0$, $g(x)=\int_0^1 f'(tx)dt$, et en déduire que $g$ se prolonge en une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$. Intégrale à paramètres. On suppose désormais que $f(0)=f'(0)=\dots=f^{(n-1)}(0)=0$ et on pose $g(x)=\frac{f(x)}{x^n}$, $x\neq 0$. Justifier que $g$ se prolonge en une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$. Enoncé Soient $I$ un intervalle, $f:I\times\mathbb R\to\mathbb R$ et $u, v:I\to\mathbb R$ continues. Démontrer que $F: x\mapsto \int_{u(x)}^{v(x)}f(x, t)dt$ est continue sur $I$.

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👍 Si est de classe sur, les hypothèses de continuité contenues dans (a), (b) et (c) sont vérifiées. (nécessite le cours sur les fonctions de plusieurs variables). 2. Cas particulier Soit continue telle que la fonction est définie et continue sur. est de classe sur et. 3. Généralisation aux fonctions de classe 3. Théorème Présentation avec une domination locale: On considère. Intégrale paramétrique — Wikipédia. Hypothèses si pour tout, est de classe sur, si pour tout, et les fonctions où sont continues par morceaux et intégrables sur, si pour tout, est continue par morceaux sur et si pour tout segment inclus dans, il existe une fonction continue par morceaux et intégrable sur telle que, conclusion la fonction, définie sur par, est de classe sur et,. 3. Application à la fonction. Montrer que la fonction est de classe sur. Pour réussir en Maths Spé, il est important de revenir régulièrement sur l'ensemble des chapitres de maths au programme de Maths en Maths Spé. Les cours en ligne de PT en Maths, les cours en ligne de Maths en PC, ou les cours en ligne de Maths en PSI ou encore les cours en ligne de Maths en MP, permettent aux étudiants de pouvoir revoir les grandes notions de cours rapidement et efficacement.

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Résumé de cours Exercices et corrigés Résumé de cours et méthodes – Intégrales à paramètre I- Continuité 1. 1. Continuité Soient un intervalle de et soit une partie non vide d'un espace vectoriel de dimension finie. Soit. (a) si pour tout, est continue par morceaux sur (b) si pour tout, est continue sur (c) s'il existe une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur telle que, Conclusion la fonction est définie sur et continue en. Pour la continuité en un point: Soit un intervalle de et soit une partie non vide d'un espace vectoriel de dimension finie et. (a)si pour tout, est continue par morceaux sur. Intégrale à paramètre. (b) si pour tout, est continue en (c) s'il existe un voisinage de et une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur telle que, 👍 Dans la plupart des exercices, est un intervalle et on peut utiliser la forme énoncée dans le sous-paragraphe suivant. 1. 2. Cas général Soit un intervalle de et soit un intervalle de. (c) hypothèse de domination globale s'il existe une fonction, continue par morceaux et intégrable sur, telle que, ou (c') hypothèse de domination locale si pour tout segment inclus dans, il existe une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur, telle que, Conclusion: la fonction est définie et continue sur.

👍 Lorsque l'intervalle est ouvert ou non borné, il est courant de raisonner par domination locale. 👍 important: si est continue sur, les hypothèses de continuité contenues dans (a) et (b) sont vérifiées. 1. 3. Cas particulier Soit un segment de et soit un intervalle de. Soit continue. La fonction est continue sur. 1. 4. Exemple: la fonction. Retrouver le domaine de définition de la fonction. Démontrer qu'elle est continue. 2. Dérivabilité 2. Intégrale à paramétrer les. Cas général Soient et deux intervalles de. Hypothèses: (a) si pour tout, est continue par morceaux et intégrable sur, (b) si pour tout, est de classe sur, (c) si pour tout, est continue par morceaux sur, (d) hypothèse de domination globale s'il existe une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur, telle que (d') hypothèse de domination locale si pour tout segment inclus dans, il existe une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur telle que pour tout, la fonction est intégrable sur la fonction, définie sur par, est de classe sur, et.

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