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Bric À Brac Sarthe
Thursday, 18 July 2024
Montrer que $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. $ Enoncé Soient $U$ un ouvert de $\mathbb C$ et $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes qui converge simplement sur $U$ vers $f$. On suppose que la suite $(f_n)$ est uniformément bornée, c'est-à-dire qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $z$ de $U$ et tout $n\geq 0$, on a $|f_n(z)|\leq C$. Montrer que $f$ est holomorphe. On fixe $K$ un compact de $U$ et $z_0\in K$, $r>0$ tel que $D(z_0, r)\subset U$. Suites et intégrales exercices corrigés le. Montrer qu'il existe une constante $M>0$ telle que, pour tout $z\in D(z_0, r/2)$, on a $$|f_n(z)-f_m(z)|\leq M \int_{C(z_0, r)}|f_n(w)-f_m(w)|dw, $$ où $C(z_0, r)$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $r>0$. En déduire que, pour tout $\veps>0$, il existe $p:=p(z_0)$ tel que, pour tout $n, m\geq p(z_0)$, on a $$\sup_{z\in D(z_0, r/2)}|f_n(z)-f_m(z)|\leq \veps. $$ Conclure que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $K$. Enoncé Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$ et $H$ l'ensemble des fonctions holomorphes $f:\Omega\to\mathbb C$ de carré intégrale: $\int_{\Omega}|f(x+iy)|^2dxdy<+\infty$.

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