Une Urne Contient 2 Boules Noires Et 8 Boules Blanches

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Sunday, 23 June 2024

LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Retour vers l'accueil Exercice 1: Commun à tous les candidats Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage. 1) Calculez les probabilités p2, p3 et p4. 2) On considère les événements suivants: Bn: " On tire une boule blanche lors du n-ième tirage " Un: " On tire une boule blanche et une seule lors des n -1 premiers tirages " a) Calculez la probabilité de Bn. b) Exprimez la probabilité de l'événement Un en fonction de n. c) Déduisez-en l'expression de pn en fonction de n et vérifiez l'égalité: 3) On pose Sn = p2 + p3 +.... Une urne continent 2 boules noires et 8 boules blanches 2020. + pn. a) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n > 2, on a: b) Déterminez la limite de la suite ( Sn) Correction Exercice 1: Sur un tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 1/3 et d'obtenir une boule noire est 2/3.

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Par hypothèse Considérons l'événement A i: un trésor est placé dans le coffre d'indice i. Par hypothèse P ⁢ ( A i) = P ⁢ ( A j) et puisque les événements A i sont deux à deux incompatibles P ⁢ ( A i) = p / N ⁢. La question posée consiste à déterminer P ⁢ ( A N ∣ A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) ⁢. P ⁢ ( A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) = 1 - P ⁢ ( A 1 ∪ … ∪ A N - 1) = 1 - N - 1 N ⁢ p et P ⁢ ( A N ∩ A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) = P ⁢ ( A N) = p N donc P ⁢ ( A N ∣ A ¯ 1 ∩ … ∩ A ¯ N - 1) = p N - ( N - 1) ⁢ p ⁢. Exercice 8 3828 (Loi des successions de Laplace) On dispose de N + 1 urnes numérotées de 0 à N. L'urne de numéro k contient k boules blanches et N - k boules rouges. On choisit une urne au hasard, chaque choix étant équiprobable. Dans l'urne choisie, on tire des boules avec remise. Soit n ∈ ℕ. Formule des probabilités composées. Quelle est la probabilité que la ( n + 1) -ième boule tirée soit blanche sachant que les n précédentes le sont toutes? Que devient cette probabilité lorsque N tend vers l'infini? Édité le 09-11-2021 Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML Powered by MathJax

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2. a) Après simplication de l'expression de un, on a: un = e-n. b) Cette suite donc géométrique de raison e-1. Elle converge donc vers 0 car |e-1| < 1. Comme (D) est asymptote à (C)........

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Comme e -x > 0 sur R, on en déduit que f '(x) et g(x) sont de même signe. On connait le tableau de signes de g(x) (voir partie A), donc celui de f ', donc le tableau de variations de f sur R. 4. a) a vérifie g(a) = 0 donc on a:. D'où, b) On vérifie sans peine que la dérivée de h est définie par: D'où h '(x) > 0 sur]-oo; 2, 5 [ d'où h est strictement croissante sur cet intervalle. Comme 0, 94 < a < 0, 941, on a h(0, 94) < h(a) < h(0, 941) d'où, par exemple, -1. 905 < h(a) < -1, 895. 5. f (x) - (2x-5) = - (2x-5)e-x = -2xe-x + 5e-x. Comme on en déduit que. Donc la droite (D) est bien asymptote à (C) en +oo. Une urne continent 2 boules noires et 8 boules blanches st. De plus, f (x) - (2x-5) > 0 sur]-oo; 2, 5[ et < 0 sur]2, 5; +oo[ donc (D) est en-dessous de (C) sur]-oo; 2, 5[ et au-dessus de (C) sur]2, 5; +oo[. 6. Partie C. L'aire demandée est:. Pour calculer l'intégrale qui intervient ici, on effectue une intégration par parties. D'où l'aire: A = (13 - 8e-2, 5)cm². Partie D. ion sans difficulté, il suffit de connaître les coorodnnées des points considérés et de faire le calcul!

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3) a) Démontrez que pour tout entier naturel n, 2xn - yn = 5 b) Exprimez yn en fonction de n. c) En utilisant les congruences modulo 5, étudiez suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2p par 5. d) On note dn le pgcd de xn et yn, pour tout entier naturel n. Démontrez que l'on a: dn = 1 ou dn = 5. En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux. Une urne continent 2 boules noires et 8 boules blanches de la. Correction (indications) 1) Pour n =0, 2n+1 + 1= 2+1 = 3 = x0 donc la propriété est vraie pour n = 0. On fait l'hyptothèse de récurrence xn = 2n+1 + 1. xn+ 1 = 2xn - 1 donc xn+1 = 2(2n+1 + 1) - 1 d'où xn+1 = 2n+2 + 1 Ce qui est bien la propriété à l'ordre ( n +1), d'où la conclusion par récurrence. 2) a) et b) D'après la relation de récurrence entre xn+1 et xn, on a: -xn+1 + 2xn = 1. Donc, d'après le théorème de BEZOUT, xn et xn+1 sont premiers entre eux pour tout entier naturel n 3) a) Pour tout entier naturel n, on a: 2xn+1 - yn+1 = 2(2xn -1) - (2yn +3) = 2(2xn - yn) - 5 Donc, si (2xn - yn) = 5 alors 2xn+1 - yn+1 = 5.

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Soit un le réel défini par: 1. Démontrez que pour tout entier naturel n > 3, on a: 2. a) Quelle est la nature de la suite (un)? b) Calculez la limite de la suite (un). Pouvait-on prévoir ce résultat? Correction du Problème: Partie A: sait que donc. On sait que donc 2. g est somme de 2 fonctions strictement croissante sur R donc g est strictement croissante sur R. On peut aussi calculer la dérivée de g sur R et voir que celle-ci est strictement positive. 3. D'après les limites de g en +oo et -oo, comme g est continue sur R, d'après le thèorème des valeurs intermédiaires, on peut dire qu'il existe un réel a tel que g(a)=0. Comme g est strictement croissante sur R, cette valeur a est unique. De plus, pour x < a, g(x) < 0 et pour x > a, g(x) > 0. Un simple calcul machine montre que g(0, 94) < 0 et g(0, 941) > 0 d'où 0, 94 < a < 0, 941. au-dessus. Exercices corriges Sujet et Corrigé Baccalauréat S Liban 2003 pdf. Partie B. 1. f(x) < 0 sur]0; 2, 5[ et f(x) > 0 sur]-oo;0] U [2, 5; +oo[. 2. et 3. f ' (x) = 2(1-e-x) + (2x-5)(e-x) = 2-7e-x+2xe-x = e-x(2e-x + 2x -7) = e-xg(x).

On désigne par F l'événement: "obtenir exactement 2 boules noirs" Calculer la probabilité de l'événement F Résolution: Donc pour la question 1) -Un arbre de probabilité est donc un schéma représentatif d'une expérience de statistique.