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Exemple: Pour tout réel \(x\), on pose \(g(x)=\dfrac{1}{12}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+2x^2\). La fonction \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(g'(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(g^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\). \(g\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Puisqu'il n'y a pas de changement de convexité, \(g\) ne présente pas de point d'inflexion, et ce, même si \(g^{\prime\prime}(2)=0\). Applications de la convexité Inégalité des milieux Soit \(f\) une fonction convexe sur un intervalle \(I\). Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen — Wikiversité. Pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), \[ f\left( \dfrac{a+b}{2} \right) \leqslant \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\] On considère les points \(A(a, f(a))\) et \((b, f(b))\). Le milieu du segment \([AB]\) a pour coordonnées \(\left(\left(\dfrac{a+b}{2}\right), \dfrac{f(a)+f(b)}{2}\right)\). Or, la fonction \(f\) étant convexe sur \(I\), le segment \([AB]\) se situe au-dessus de la courbe représentative de \(f\).
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Voici la question et la réponse: Question: Réponse rapide: Voici ce que j'ai écrit sur ma copie: Si vous voulez aller plus loin sur ce thème, vous pouvez faire le sujet Maths I HEC ECS 1997, un peu difficile mais très formateur. Conclusion Vous savez maintenant tout ce qu'il y a à savoir sur la convexité des fonctions. Les deux exemples que nous venons de voir sont à connaître par cœur car ces questions tombent très souvent aux concours (et c'est plus classe d'y répondre comme cela plutôt que de tout passer d'un côté et d'étudier la fonction). Inégalité de connexite.fr. On se retrouve très bientôt pour de nouvelles astuces mathématiques, et pendant ce temps-là, entraînez-vous!
Inégalité De Convexité Généralisée
Soient a 1, a 2, b 1, b 2 ∈ ℝ +, déduire de ce qui précède: a 1 b 1 a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p a 1 p a 1 p + a 2 p + 1 q b 1 q b 1 q + b 2 q . (c) Conclure que a 1 b 1 + a 2 b 2 ≤ a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q . (d) Plus généralement, établir que pour tout n ∈ ℕ et tous a 1, …, a n, b 1, …, b n, ∑ i = 1 n a i b i ≤ ∑ i = 1 n a i p p ∑ i = 1 n b i q q . Par la concavité de x ↦ ln ( x), on a pour tout a, b > 0 et tout λ ∈ [ 0; 1] l'inégalité: λ ln ( a) + ( 1 - λ) ln ( b) ≤ ln ( λ a + ( 1 - λ) b) . Focus sur les inégalités de convexité - Major-Prépa. Appliquée à λ = 1 / p, elle donne ln ( a p b q) ≤ ln ( a p + b q) puis l'inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie si a = 0 ou b = 0. Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente à a = a 1 p a 1 p + a 2 p et b = b 1 q b 1 q + b 2 q . De même, on a aussi a 2 b 2 a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p a 2 p a 1 p + a 2 p + 1 q b 2 q b 1 q + b 2 q donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.
Point d'inflexion Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Un point d'inflexion est un point où la convexité de la fonction \(f\) change. La tangente à la courbe de \(f\) en un point d'inflexion traverse la courbe de \(f\). Si \(f\) présente un point d'inflexion à l'abscisse \(a\), alors \(f^{\prime\prime}(a)\). Réciproquement, si \(f^{\prime\prime}(a)=0\) et \(f^{\prime\prime}\) change de signe en \(a\), alors \(f\) présente un point d'inflexion en \(a\). Cela rappelle naturellement le cas des extremum locaux. Si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a)=0\). Cependant, si \(f'(a)=0\), \(f\) admet un extremum local en \(a\) seulement si \(f'\) change de signe en \(a\). Exemple: Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\dfrac{x^3}{2}+1\). La fonction \(f\) est deux fois dérivable et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=3x\). Inégalité de convexity . Lorsque \(x<0\), \(f^{\prime\prime}(x)<0\), la fonction est concave, la courbe est sous ses tangentes. Lorsque \(x>0\), \(f^{\prime\prime}(x)>0\), la fonction est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes.