Calendrier Fevrier 2013 À Imprimer | Fevrier 2013 Jours Fériés ❤️❤️ — Déterminant De Deux Vecteurs
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Le calcul de déterminant donne le même résultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie pour le calcul. Déterminant de trois vecteurs dans l' espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de... ) Soit E l'espace euclidien orienté usuel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille; les dimensions d'une pièce... ) 3. Le déterminant de trois vecteurs de E est donné par Fig. 3. Illustration graphique de la trilinéarité. Ce déterminant porte encore le nom de produit mixte; la formule de calcul correspondante est connue sous le nom de règle de Sarrus. Propriétés La valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d'une concrète ou d'un... ) du déterminant est égale au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension... ) du parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont... ) défini par les trois vecteurs.
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Les coordonnées de ces vecteurs sont et Le déterminant de ces deux vecteurs est nul, donc on a: soit d'où Pour s'entraîner: exercices 24 et 25 p. 227, 40 et 41 p. 229
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Déterminant 2×2 O n considère un plan muni d'un repère orthonormé d'origine O, et deux point A et B de coordonnées (x 1, y 1) et (x 2, y 2). Que vaut l'aire du parallélogramme construit sur OAB? Le petit découpage prouve qu'elle vaut x 1 y 2 -x 2 y 1. On appelle ce nombre déterminant des vecteurs et, et on le note: Le déterminant peut donc s'interpréter comme une aire signée. Il permet aussi de déterminer quand deux vecteurs et sont colinéaires; cela arrive si, et seulement si, leur déterminant est nul. Déterminant 3×3 D ans l'espace à 3 dimensions, quel est le volume du parallélépipède construit sur les points O, A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) et C(x 3, y 3, z 3)? Lagrange a calculé ce volume et a trouvé, au signe près: Ce nombre est un déterminant d'ordre 3, et se note: Le déterminant d'ordre 3 peut s'interpréter comme un volume signé; il permet aussi de déterminer quand 3 vecteurs de l'espace sont coplanaires: cela arrive si, et seulement si, leur déterminant est nul. On peut calculer un déterminant d'ordre 3 par la formule précédente, mais le plus souvent on utilise un développement suivant une ligne ou une colonne: pour cela, on attribue à chaque coefficient un signe + ou - suivant le tableau suivant: c'est-à-dire que l'on met un + en haut à gauche, et que l'on alterne les + et les - sur chaque ligne et chaque colonne.
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L'aire d'un parallélogramme construit à partir de deux vecteurs est égale à la valeur absolue du déterminant de ces deux vecteurs. Dans l'explication ci-dessous, on se limite à des points dont les coordonnées sont toutes positives ou nulle. Dans le rectangle ORBS, les deux rectangles rouges situés de chaque côté de la diagonale OB possèdent la même aire. On observe donc que l'aire du parallélogramme OACB est égale à
Le plan étant muni d'un repère orthonormé ( O;, ), soient un vecteur donné et M le point du plan tel que. On note ( x; y) les coordonnées du point M. On peut écrire et aussi. Ainsi, tout vecteur du plan peut s'écrire sous la forme. Dire que le vecteur a pour coordonnées x et y dans la base orthonormée (, ) veut dire que. Pour indiquer les coordonnées du vecteur, on utilise la notation ou. Exemple Sur le graphique ci-dessous, muni d'une base orthonormée (, ), lire les coordonnées des vecteurs et. D'après le graphique, on a: et.