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Sommaire – Page 1ère Spé-Maths 9. 1. Courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$. Définition 1. Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par: $P(x)=ax^2+bx+c$. Alors, la courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath}, \vec{\jmath}\right)$ (orthogonal suffit), s'appelle une parabole. Il existe deux cas de paraboles suivant le signe du coefficient $a$ de $x^2$. Ce qui nous donne le théorème suivant: Théorème 8. Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. La courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath}, \vec{\jmath} \right)$ est une parabole ayant deux branches et un sommet $S(\alpha; \beta)$ $\bullet$ $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$; $\bullet$ La droite (parallèle à l'axe des ordonnées) d'équation $x=\alpha$ est un axe de symétrie de la parabole; $\bullet$ Si $a>0$, la parabole dirige ses branches vers le haut $\smile$; c'est-à-dire vers les $y$ positifs.
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a < 0 donc la parabole est tournée vers le bas, avec x 2 = –4 L'ensemble solution de l'inéquation est donc]–∞; –4[ ∪]5; +∞[. b. Autres cas Que f soit sans racine (comme f ( x) = x ² + 1 par exemple) ou avec une seule racine (appelée racine « double », comme f ( x) = 5( x – 2)² par exemple), la parabole va rester du même côté de l'axe des abscisses, sans le toucher dans le premier cas, avec un point de contact unique dans le deuxième cas (en x = 2 si par exemple). Conséquence: le signe de f ne change pas sur, et f est donc du signe de a. Résoudre 3( x – 2)² ≥ 0: Posons f ( x) = 3( x – 2)², f a une seule racine: 2, et pour f on a: a = 3 > 0. Ainsi f est positive sur, l'ensemble des solutions est donc.
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$\bullet$ Si $a<0$, la parabole dirige ses branches vers le bas $\frown$; c'est-à-dire vers les $y$ négatifs. Éléments caractéristiques de ${\cal P}$ suivant la forme de l'expression algébrique de $P(x)$. Théorème 9. $\bullet$ Si on connaît la forme développée réduite: $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors, $S(\alpha; \beta)$, avec: $$\alpha=\dfrac{-b}{2a} \quad\textrm{et}\quad \beta=P(\alpha)$$ $\bullet$ Si on connaît la forme factorisée: $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $a\neq 0$. Alors: $$\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\quad\textrm{et}\quad\beta=P(\alpha)$$ $\bullet$ Si on connaît la forme canonique: $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq 0$. Alors: $$S(\alpha; \beta)$$ $\quad-$ Si $\beta=0$, alors $x_0=\alpha$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $S(x_0;0)$ $\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, alors $P(x)$ garde un signe constant et ne se factorise pas. $\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, alors $P(x)$ se factorise à l'aide de l'identité remarquable n°3. Sens de variation Théorème 10.
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Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée. 1. Fonction polynôme de degré 2 Une fonction (polynôme) du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme, avec a un réel non nul, b et c deux réels. Remarque Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme. La forme est la forme factorisée. 2. Représentation graphique a. Cas général On appelle parabole la courbe représentative d'une fonction du second degré. La parabole a pour équation, avec a un réel non nul, b et L'allure de la parabole d'équation dépend du signe de a: Moyen mnémotechnique: lorsqu'on est positif, on sourit, alors que lorsqu'on est négatif, on fait la moue. Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse. Exemple 1: cas où On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1; 4] par. Ici. Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est: x –1 0 1 2 3 4 f(x) 5 D'après ce tableau on peut lire que. Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1, 5 et Y = –1, 25.
Un exemple d'équation de degré 5 5 non résoluble par radicaux est x 5 − 3 x − 1 = 0 x^5-3x-1 = 0.