1Ère - Cours -Géométrie Repérée | Amazon.Fr : Portefeuille Personnalisé
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I. Définition et propriétés. 1. Norme d'un vecteur. Considérons un vecteur u ⃗ \vec u du plan. On définit la norme du vecteur u ⃗ \vec u comme la "longueur" du vecteur u ⃗ \vec{u}. On la note ∥ u ⃗ ∥ \|\vec{u}\| En particulier: si u ⃗ \vec u est un vecteur tel que u ⃗ = A B → \vec u=\overrightarrow{AB} 2. Cas de deux vecteurs colinéaires. Définition: Soient u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v deux vecteurs colinéaires du plan. Lecon vecteur 1ères images. On appelle produit scalaire des vecteurs u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v le nombre réel noté u ⃗ ⋅ v ⃗ \vec u\cdot\vec v défini par: u ⃗ ⋅ v ⃗ = { ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ∥ lorsque u ⃗ et v ⃗ sont de m e ˆ me sens − ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ∥ lorsque u ⃗ et v ⃗ sont de sens diff e ˊ rent \vec u\cdot\vec v=\left\{ \begin{array}{ll}\|\vec u\|\times\|v\| & \textrm{ lorsque}\vec u\textrm{ et}\vec v\textrm{ sont de même sens} \\ -\|\vec u\|\times\|v\| & \textrm{ lorsque}\vec u\textrm{ et}\vec v\textrm{ sont de sens différent}\end{array} \right. 3. Cas de deux vecteurs quelconques. Soient u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v deux vecteurs différent de 0 ⃗ \vec 0 du plan.
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Règle du parallélogramme n°1. équivaut à: « ABDC est un parallélogramme ». Règle du parallélogramme n°2. alors où R est le point défini de sorte que OMRN est un parallélogramme. Pour construire la somme des vecteurs et, on construit le quatrième sommet du parallélogramme OMRN. Règle du parallélogramme n°3. Les points A, B et C étant donnés, si ABCD est un parallélogramme alors: Relation de Chasles. Les points A et C étant donnés, pour tout point B, on a la relation: Ce qui est important pour cette relation de Chasles, c'est que le deuxième point du premier vecteur (ici B) soit le même que le premier point du second vecteur. Les vecteurs - 1S - Cours Mathématiques - Kartable. Translation. Le point M' est l'image du point M dans la translation de vecteur signifie que. (ABM'M est donc un parallélogramme. ) L'image d'une droite (d) par une translation est une droite (d') qui est parallèle à (d). Exemple de deux grues: Vous avez choisi le créneau suivant: Nous sommes désolés, mais la plage horaire choisie n'est plus disponible. Nous vous invitons à choisir un autre créneau.
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Produit scalaire dans un repère orthonormé. Lecon vecteur 1ere s second. On note ( O; i ⃗; j ⃗) (O;\vec i;\vec j) un repère orthonormé du plan. Soient u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v deux vecteurys du plan de coordonnées ( x; y) (x;y) et ( x ′; y ′) (x';y'). On a alors: u ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ et v ⃗ = x ′ i ⃗ + y ′ j ⃗ \vec u=x\vec i+y\vec j\textrm{ et}\vec v=x'\vec i+y'\vec j On calcule le produit scalaire de u ⃗ \vec u par v ⃗ \vec v: u ⃗ ⋅ v ⃗ = ( x i ⃗ + y j ⃗) ⋅ ( x ′ i ⃗ + y ′ j ⃗) = \vec u\cdot\vec v=(x\vec i+y\vec j)\cdot(x'\vec i+y'\vec j)= En développant, on trouve u ⃗ ⋅ v ⃗ = x x ′ + y y ′ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy' Théorème: Dans un repère orthonormé, si u ⃗ ( x; y) \vec u(x;y) et v ⃗ ( x ′; y ′) \vec v(x';y'), alors Toutes nos vidéos sur produit scalaire et applications en 1ère s
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Autre expression du produit scalaire. Soit α \alpha une mesure de l'angle orienté ( u ⃗; v ⃗) (\vec u\;\vec v) (on choisira la mesure principale). Par définition, u ⃗ ⋅ v ⃗ = u ⃗ ⋅ v ′ → \vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}. On distinguera deux cas: 1er cas: l'angle α \alpha est aigu On pose A B → = v ⃗ \overrightarrow{AB}=\vec v et A H → = v ′ → \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{v'}. Les formules de trigonométrie nous indique alors que: cos α = A H A B = ∥ v ′ → ∥ ∥ v ⃗ ∥ \cos\alpha =\frac{AH}{AB}=\frac{\|\overrightarrow{v'}\|}{\|\vec v\|} Ainsi, ∥ v ′ → ∥ = ∥ v ⃗ ∥. Introduction aux vecteurs - Maths-cours.fr. cos α \|\overrightarrow{v'}\|=\|\vec v\|. \cos\alpha Et donc, u ⃗ ⋅ v ⃗ = u ⃗ ⋅ v ′ → = ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ⃗ ∥ × cos α \vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\overrightarrow{v'}=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\alpha 2ème cas: l'angle α \alpha est obtu Si l'angle est obtu, il suffit de faire le raisonnement avec cos ( π − α) \cos(\pi-\alpha) et en remarquant que cos ( π − α) = − cos ( α) \cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha) D'où le théorème suivant: Pour u ⃗ \vec u et v ⃗ \vec v deux vecteurs non nuls, u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ⃗ ∥ × cos ( u ⃗; v ⃗ ^) \vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\widehat{\vec u;\vec v}) II.
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Toute droite du plan possède une équation cartésienne du type: a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 où a, b a, b et c c sont trois réels. Réciproquement, l'ensemble des points M ( x; y) M\left(x; y\right) tels que a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 où a, b a, b et c c sont trois réels avec a ≠ 0 a\neq 0 ou b ≠ 0 b\neq 0 est une droite. Une droite possède une infinité d'équation cartésienne (il suffit de multiplier une équation par un facteur non nul pour obtenir une équation équivalente). Si b ≠ 0 b\neq 0 l'équation peut s'écrire: a x + b y + c = 0 ⇔ b y = − a x − c ⇔ y = − a b x − c b ax+by+c= 0 \Leftrightarrow by= - ax - c \Leftrightarrow y= - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} qui est de la forme y = m x + p y=mx+p (en posant m = − a b m= - \frac{a}{b} et p = − c b p= - \frac{c}{b}). Cette forme est appelée équation réduite de la droite. Vecteurs 1ère S - Forum mathématiques première vecteurs - 465605 - 465605. Ce cas correspond à une droite qui n'est pas parallèle. à l'axe des ordonnées. Si b = 0 b=0 et a ≠ 0 a\neq 0 l'équation peut s'écrire: a x + c = 0 ⇔ a x = − c ⇔ x = − c a ax+c= 0 \Leftrightarrow ax= - c \Leftrightarrow x= - \frac{c}{a} qui est du type x = k x=k (en posant k = − c a k= - \frac{c}{a}) Ce cas correspond à une droite qui est parallèle.
Propriété 3 On considère un point $A\left(x_A;y_A\right)$ appartenant à la droite $d$ et un point $M(x;y)$ du plan. Le vecteur $\vect{AM}$ a pour coordonnées $\left(x-x_A;y-y_A\right)$. $\begin{align*} M\in s &\ssi \vec{n}. \vect{AM}=0 \\ &\ssi a\left(x-x_A\right)+b\left(y-y_A\right)=0\\ &\ssi ax-ax_A+by-by_A=0\\ &\ssi ax+by+\left(-ax_A-by_A\right)=0\end{align*}$ En notant $c=-ax_A-by_A$ la droite $d$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$. Exemple: On veut déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(4;2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(-3;5)$. Une équation de la droite $d$ est donc de la forme $-3x+5y+c=0$ $\begin{align*} A\in d&\ssi -3\times 4+5\times 2+c=0\\ &\ssi-12+10+c=0\\ &\ssi c=2\end{align*}$ Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-3x+5y+2=0$. II Équation d'un cercle Propriété 4: Une équation cartésienne du cercle $\mathscr{C}$ de centre $A\left(x_A;y_A\right)$ et de rayon $r$ est $$\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2=r^2$$ Preuve Propriété 4 Le cercle $\mathscr{C}$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $AM=r$.
Plus d'informations sur la Société sur le site Internet: Déclarations prospectives – AB Science Ce communiqué contient des déclarations prospectives. Portefeuille homme grave accident. Ces déclarations ne constituent pas des faits historiques. Ces déclarations comprennent des projections et des estimations ainsi que les hypothèses sur lesquelles celles-ci reposent, des déclarations portant sur des projets, des objectifs, des intentions et des attentes concernant des résultats financiers, des événements, des opérations, des services futurs, le développement de produits et leur potentiel ou les performances futures. Ces déclarations prospectives peuvent souvent être identifiées par les mots « s'attendre à », « anticiper », « croire », « avoir l'intention de », « estimer » ou « planifier », ainsi que par d'autres termes similaires. Bien qu'AB Science estime que ces déclarations prospectives sont raisonnables, les investisseurs sont alertés sur le fait que ces déclarations prospectives sont soumises à de nombreux risques et incertitudes, difficilement prévisibles et généralement en dehors du contrôle d'AB Science qui peuvent impliquer que les résultats et événements effectifs réalisés diffèrent significativement de ceux qui sont exprimés, induits ou prévus dans les informations et déclarations prospectives.
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