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Exercice Sur La Récurrence 3
75 h_n+30$. Conjecturer les variations de $(h_n)$. Démontrer par récurrence cette conjecture. 9: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un) Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n+4}$. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{x+3}{4x+4}$. Étudier les variations de $f$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$. 10: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un) On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$. Soit la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$. On a tracé la courbe de \(f\) ci-dessous: Représenter les premiers termes de la suite. Exercice sur la récurrence 3. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$? Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
On peut donc maintenant conclure en disant que \forall n \in \N^*, \sum_{k=0}^{n-1} 2k-1 = n^2 Exemple 2: Une inégalité démontrée par récurrence Montrons cette fois une inégalité par récurrence: \forall n \in \N, \forall x \in \R_+, (1+x)^n \ge 1+nx Etape 1: Initialisation On prend n = 0, on montre facilement que \begin{array}{l}\forall\ x\ \in\ \mathbb{R}_+, \ \left(1+x\right)^0\ =\ 1\\ \forall\ x\ \in\ \mathbb{R}_+, \ 1+0\ \times\ x\ =\ 1\\ \text{Et on a bien} 1 \ge 1\end{array} L'initialisation est donc vérifiée Etape 2: Hérédité On suppose que la propriété est vrai pour un rang n fixé.
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