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Merci Posté par Bluberry (invité) re: "Croissance" de l'intégrale. 30-03-07 à 14:04 Bonjour, je pense que ton raisonnement est ok, toute inégalité large se conserve par passage à la limite donc no problemo. Positivité de l'intégrale. Posté par Rouliane re: "Croissance" de l'intégrale. 30-03-07 à 14:06 Merci Bluberry Ce topic Fiches de maths analyse en post-bac 21 fiches de mathématiques sur " analyse " en post-bac disponibles.
Croissance De L Intégrale Tome 2
\] Exemple On considère, pour $n\in \N^*$, la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ définie par ${I_n}=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)\;\mathrm{d}x}$. Sans calculer cette intégrale, montrer que la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ vérifie pour $n\in \N^*$, $0\le {I_n}\le \dfrac{\pi}{2}$ et qu'elle est décroissante. Voir la solution Pour tout $n\in \N^*$ et tout $x\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]$, on a $0\le {\sin^n}(x)\le 1$. En intégrant cette inégalité entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, il vient:\[\int_0^{\pi/2}{0}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{1}\;\mathrm{d}t\]c'est-à-dire:\[0\le I_n\le \frac{\pi}{2}. \]Par ailleurs, pour tout $x\in \left[0, \dfrac{\pi}{2} \right]$, on a $0\le \sin(x)\le 1$. Croissance de l intégrale st. Donc:\[\forall n\in \N^*, \;0\le {\sin^{n+1}}(x)\le {\sin^n}(x). \]En intégrant cette nouvelle inégalité entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, il vient:\[\int_0^{\pi/2}{0}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^{n+1}(x)}\;\mathrm{d}t\le \int_0^{\pi/2}{\sin^n(x)}\;\mathrm{d}t\]Ceci prouve que ${I_{n+1}}\le {I_n}$, c'est-à-dire que la suite ${\left({I_n} \right)}_n$ est décroissante.
À l'instar des dérivées successives, on calcule des intégrales doubles, triples, etc. Enfin, certains problèmes nécessitent l'étude de suites d'intégrales (voir par exemple la page intégrales de Wallis).