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Saturday, 31 August 2024

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On note les valeurs prises par et celles prises par. et sont dites indépendantes si et seulement si, pour tout de et tout de: binaisons Définition Soit un ensemble de cardinal, soit un entier naturel Une combinaison de éléments de est une partie de possédant éléments. On note le nombre de combinaisons de éléments de. Si, alors. Si, alors: =. Propriétés Pour tout entier naturel: et si:. Probabilités - 3ème - Exercices avec correction. Pour tous entiers naturels et tels que, on a:. Formule de Pascal: pour tous entiers naturels et tels que, on a: Formule du binôme de Newton Pour tous complexes (et donc réels) et, et tout entier naturel non nul: = Exemple: Calculer 3. Lois de probabilités discrètes Loi de Bernoulli Une variable aléatoire, prenant la valeur avec la probabilité et la valeur avec la probabilité, suit la loi de Bernoulli de paramètre. On notera alors: L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre sont données par: Loi binomiale La somme de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli, prenant la valeur avec la probabilité et la valeur avec la probabilité, suit la loi binomiale de paramètre.

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Montrer que + est mesurable. Indiccit~oii tout 1 5 2 5 71 mi considirant IC 3 c. nsrrrili7e~ { I I,, 5 (I}. (I E R. or1 poirrrci conirrifr1(cr par rrrmtrci qiic I t-) r, ) cst rnr~surablt~ pour 1. 6 Sur IR on définit la relation d'équivalence z N y si 2 – y E Q. En utilisant l'axiome du choix (si A est une fonction sur un ensemble I telle que A(x) # 0 pour tout x de I, il existe une fonction f telle que f(x) E A(x) pour tout x E I), construire un ensemble A C [O, 1 [ qui contient exactement un point de chaque classe d'équivalence. Exercice probabilité en ligne. Supposons A mesurable, et soit a = X(A) sa mesure de Lebesgue. Montrer que si T, S E Q et T # s, alors (A + s) ri (A + r) = 0, où A + x = {y + x: y E A}, et que X(A + s) = X(A). Remarquer que Un exemple d'ensemble non mesurable. 1 = X([0, 1]) I X( u (A+T)) I X([-1, 2]) =3. En utilisant la 0-additivité de A, montrer que cette inégalité conduit d'une part à a = O, d'autre part à a > O. Conclure. ram] -1, 1[ 1. 7 Théorème d'Egorov.

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Donc la probabilité d'obtenir que des « pile » au cours des 5 lancers est: = = Question 3: Réponse E Lorsqu'on lit « au moins un » dans une question de probabilités, il faut penser à l' événement contraire. En effet si A: « obtenir au moins un 6 sur les deux lancers » Alors son contraire: « ne pas obtenir de 6 sur les deux lancers », cette proba est beaucoup plus facile à calculer. Exercice probabilité en ligne pdf. La proba de ne pas obtenir 6 au premier lancer est 5/6 La proba de ne pas obtenir 6 au second lancer est également 5/6 Donc = Finalement la probabilité cherchée vaut: = 1 – = 1 – = – = Question 4: Réponse A En fait l'élément, « on sait qu'il y a une fille » était déterminant: Avant de le lire, voici les possibilités: Ainé Benjamin Cas n°1 Garçon Garçon Cas n°2 Garçon Fille Cas n°3 Fille Fille Cas n°4 Fille Garçon En lisant « on sait qu'il y a une fille », on élimine la cas n°1, il n'existe plus. Une fois qu'on a éliminé le cas n°1, il n'en reste plus que 3 et un seul nous convient, c'est le cas Fille-Fille. Donc 1 cas favorable sur les 3 cas au total, la probabilité cherchée vaut donc 1/3.

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