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Monday, 12 August 2024

Un exercice de maths sur le signe des polynômes du second degré. Un exercice simple et efficace sur les polynômes. Quel est le signe des polynômes suivants? P( x) = -3 x ² + 6 x + 6 Q( x) = x ² - 2 x + 1

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3. Signe d'un polynôme du second degré On peut déterminer le signe d'un polynôme du second degré rapidement à partir de sa forme factorisée, en ayant en tête l'image mentale de sa courbe représentative. a. Cas le plus fréquent: 2 racines distinctes Soit f une fonction polynôme de degré 2 telle qu'il existe 3 réels a, x 1 et x 2 tels que f ( x) = a ( x – x 1)( x – x 2). Il y a 2 possibilités pour la parabole représentant f: Si a > 0 La parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pour x = x 1 et pour x = x 2. On sait ainsi que: f ( x) ≤ 0 pour tout réel x dans [ x 1, x 2] f ( x) ≥ 0 pour tout réel x dans]–∞; x 1] ∪ [ x 2; +∞[ Résoudre 3( x + 4)( x – 5) < 0: On reconnait la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = 3. a > 0 donc la parabole est tournée vers le haut, avec x 2 = –4 et x 1 = 5. L'ensemble solution de l'inéquation est donc [–4; 5]. Si a < 0 La parabole est tournée vers le bas et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pou x = x 1 Résoudre –3( x + 4)( x – 5) < 0: On reconnaît la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = –3.

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a < 0 donc la parabole est tournée vers le bas, avec x 2 = –4 L'ensemble solution de l'inéquation est donc]–∞; –4[ ∪]5; +∞[. b. Autres cas Que f soit sans racine (comme f ( x) = x ² + 1 par exemple) ou avec une seule racine (appelée racine « double », comme f ( x) = 5( x – 2)² par exemple), la parabole va rester du même côté de l'axe des abscisses, sans le toucher dans le premier cas, avec un point de contact unique dans le deuxième cas (en x = 2 si par exemple). Conséquence: le signe de f ne change pas sur, et f est donc du signe de a. Résoudre 3( x – 2)² ≥ 0: Posons f ( x) = 3( x – 2)², f a une seule racine: 2, et pour f on a: a = 3 > 0. Ainsi f est positive sur, l'ensemble des solutions est donc.

Taper les données Taper les nombres décimaux avec un point et non une virgule, exemple: taper 0. 65 au lieu de 0, 65 (indiquer le 0 avant le point). Ne pas laisser d'espace vide entre les caractères. Valeur a: Valeur b: Valeur c: Retour à la liste des calculs Des remarques, des suggestions! N'hésitez pas à nous contacter.

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