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En notation symbolique: N5: un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si leur intersection est égale à A. En notation symbolique: N6: l'équivalent de U6 se traduit par une définition, celle des ensembles disjoints ( voir ci-dessous). N7 ( compatibilité avec l'inclusion): l'intersection de deux sous-ensembles est incluse dans l'intersection des deux ensembles dont ils sont sous-ensembles. En notation symbolique: N8 ( associativité): le résultat de l'intersection de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations sont faites. En notation symbolique: Ensemble noyau Pour tout ensemble E dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles, il existe un ensemble S dont les éléments sont ceux communs à tous les éléments de E ( cette propostion, qui est un axiome implicite de la théorie naïve des ensembles, découle, dans la théorie axiomatique des ensembles du Schéma d'axiomes de compréhension). Opération sur les ensembles exercice pour. On le note " ∩ E " ( lire " inter E "), parfois " ∩ ( E) ", et on l'appelle ensemble noyau ou fonds commun de E: L'ensemble noyau de l'ensemble vide est l' univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent. )
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Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Exercice 2-1 [ modifier | modifier le wikicode] Vrai ou faux? (justifier la réponse! )????? Solution Faux. En général on a seulement. Pour que l'inclusion réciproque soit vraie, il faut en particulier que appartienne à, c'est-à-dire soit inclus dans ou dans, ce qui revient à: ou. Vrai car et. Faux en général, pour une simple raison de cardinal (ou parce que le second ensemble est un ensemble de couples et pas le premier). Opération sur les ensembles exercice pdf. Vrai car les deux sont des ensembles de couples, et. Faux car (par exemple) le second est un ensemble de couples, mais pas le premier si n'en est pas un. Exercice 2-2 [ modifier | modifier le wikicode] Démontrer les équivalences:. À quelle condition a-t-on? Si ou alors (car et). Si alors et de même,, donc. Les réciproques sont immédiates. Démontrer l'équivalence:. Solution. Variante: si alors; si alors; si alors. Donc si ou alors et par contraposition,. Exercice 2-3 [ modifier | modifier le wikicode] Pour tout, notons le sous-ensemble de formé des multiples de.
Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera: $1-f$; $fg$; $f+g-fg$. Ensemble des parties Enoncé Écrire l'ensemble des parties de $E=\left\{a, b, c, d\right\}$. Enoncé Soient deux ensembles $E$ et $F$. Soit $A$ une partie de $E\cap F$. $A$ est-elle une partie de $E$? de $F$? En déduire une comparaison de $\mathcal P(E\cap F)$ avec $\mathcal P(E)\cap \mathcal P(F)$. Opération sur les ensembles exercice les. Soit $B$ un ensemble qui est a la fois contenu dans $E$ et aussi dans $F$. $B$ est-il contenu dans $E\cap F$? En déduire une deuxième comparaison de $\mathcal P(E\cap F)$ avec $\mathcal P(E)\cap \mathcal P(F)$. Démontrer que $\mathcal P(E)\cup\mathcal P(F)$ est inclus dans $\mathcal P(E\cup F)$. Donner un exemple simple prouvant que l'inclusion réciproque n'est pas toujours vraie. Produit cartésien Enoncé Soit $D=\{(x, y)\in\mathbb R^2;\ x^2+y^2\leq 1\}$. Démontrer que $D$ ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de $\mathbb R$. Enoncé Soit $E$ et $F$ deux ensembles, soit $A, C$ deux parties de $E$ et $B, D$ deux parties de $F$.
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Exercice 2-5 [ modifier | modifier le wikicode] À quelle condition a-t-on respectivement??? donc: si et seulement si ou est vide; si et seulement si, et; si et seulement si et, ou l'inverse. Plus explicitement: et. Algebre 1 opération sur les ensembles définition et exercice d'application - YouTube. Exercice 2-6 [ modifier | modifier le wikicode] Soient des parties d'un ensemble. Établir:, tandis que; et;;; et sont complémentaires dans. Solution, tandis que., d'où... D'après la question précédente,. En remplaçant par et en utilisant la question 2, on en déduit:. Remarque: tout pourrait aussi se calculer sur les indicatrices, à valeurs dans.
Calculer $A\Delta A$, $A\Delta \varnothing$, $A\Delta E$, $A\Delta C_E A$. Démontrer que pour tous $A, B, C$ sous-ensembles de $E$, on a: $$(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C). $$ Enoncé Soit $E$ un ensemble et soient $A, B$ deux parties de $E$. On rappelle que la \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$ est définie par $$A \Delta B = (A\cap \bar{B})\cup \left(\bar{A}\cap B\right)$$ où $\bar A$ (resp. $\bar B$) désigne le complémentaire de $A$ (resp. de $B$) dans $E$. Démontrer que $A\Delta B=B$ si et seulement si $A=\varnothing$. Opération sur les ensembles, exercice de algèbre - 159444. Enoncé Soit $E$ un ensemble et soit $A, B\in\mathcal P(E)$. Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $X\in\mathcal P(E)$: $A\cup X=B$; $A\cap X=B$. Enoncé Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. On appelle fonction caractéristique de $A$ l'application $f$ de $E$ dans l'ensemble à deux éléments $\{0, 1\}$ telle que: $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si}x\in A\\ 0&\textrm{ si}x\notin A \end{array}\right. $$ Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$, $f$ et $g$ leurs fonctions caractéristiques.
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4 Représentation matricielle d'une relation binaire 1. 5 Dénombrement 1. 5. 1 Principe de récurrence 1. 2 Ensembles finis 1. 3 Analyse combinatoire 1. 6 Ensembles infinis 1. 6. 1 Cardinalité 1. 2 Ensembles dénombrables 2 Ordres 2. 1 Généralités 2. 1. 1 Ensembles ordonnés 2. 2 Eléments remarquables 2. 2 Treillis 2. 1 Ensembles réticulés 2. 3 Ensembles complets et bien fondés 2. 2 Principe d'induction Noethérienne 2. 3 Les théorèmes de Knaster et Tarski Plan du cours N° 2 de la Théorie des ensembles 1 Ensembles et fonctions 1. 1 Introduction 1. 3 Sous-ensembles 1. 4 Operations de base sur les ensembles 1. 5 Produit cartésien 1. 6 Relation 1. Exercice opérations et calcule tableau économique d’ensemble – Apprendre en ligne. 7 Fonctions 1. 7. 1 Bijections 1. 2 Injections 1. 3 Surjections 1. 8 Compter les éléments d'un ensemble Appendices A Un soupcon de logique B Axiomatique de la théorie des C Calcul formel C. 1 Introduction C. 2 Théorie des ensembles et calcul formel D Notations Liens de téléchargement des cours et résumés Théorie des ensembles Cours N°1 Théorie ensemble s Cours N°2 Théorie ensemble Cours N°3 Théorie ensemble Cours N°4 Théorie ensemble Résumé N°1 Théorie ensemble Résumé N°2 Théorie ensemble Liens de téléchargement des exercices et examens corrigés Théorie des ensembles Exercice N°1 Théorie ensemble Exercice N°2 Théorie ensemble Examen N°1 Théorie ensembles Voir aussi Liste des matières Partagez au maximum pour que tout le monde puisse en profiter
Montrer que $A\subset B\subset C$. Enoncé Soient $A$, $B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. Pour $X\subset E$, on note $X^c$ le complémentaire de $X$ dans $E$. Démontrer les lois de Morgan suivantes: $$\begin{array}{lll} \mathbf{1. }\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)&&\mathbf{2. }\ (A^c)^c=A\\ \mathbf{3. }\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c&&\mathbf{4. }\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \\ \end{array}$$ Enoncé Soit $E$ un ensemble et $A, B, C$ trois éléments de $\mathcal P(E)$. Démontrer que, si $A\cap B=A\cup B$, alors $A=B$. Démontrer que, si $A\cap B=A\cap C$ et $A\cup B=A\cup C$, alors $B=C$. Une seule des deux conditions suffit-elle? Enoncé Soit $E$ un ensemble, et $A, B$ deux sous-ensembles de $E$. On appelle \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$, notée $A\Delta B$, le sous-ensemble de $E$: $$A\Delta B=\{x\in A\cup B;\ x\notin A\cap B\}. $$ Interpréter les éléments de $A\Delta B$. Montrer que $A\Delta B=(A\cap C_EB)\cup (B\cap C_EA)$ ($C_EA$ désigne le complémentaire de $A$ dans $E$).