Les Fonction Exponentielle Terminale Es — Evaluation Proportionnalité 6Ème

I. Généralités. Théorème et définition: Il existe une unique fonction f f, dérivable sur R \mathbb R telle que f ′ = f f'=f f ( 0) = 1 f(0)=1 On la nomme fonction exponentielle; elle sera notée exp ⁡ () \exp() Démonstration: L'existence est admise. On montre ici l'unicité d'une telle fonction. Etape 1 Montrons d'abord qu'une telle fonction ne s'annule pas sur R \mathbb R. Posons h ( x) = f ( x) f ( − x) h(x)=f(x)f(-x) f f étant définie et dérivable sur R \mathbb R, h h est définie et dérivable sur R \mathbb R. On a alors h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) + f ( x) ( − f ′ ( − x)) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x)) h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) − f ( x) f ′ ( − x) h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) Or par hypothèse, Donc h ′ ( x) = f ( x) f ( − x) − f ( x) f ( − x) = 0 h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0 Ainsi, la fonction h est constante. Nos cours - De la sixième à la Terminale - Toutes les matières. On connait une valeur de f: f ( 0) = 1 f(0)=1.

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7. 3 Étude de la fonction exponentielle 7. 3. 1 Limites en +∞ et en -∞ Propriété 7. 4 lim x→+∞ e x =+∞ et lim x→-∞ e x =0 Démonstration: Limite en -∞ lim x→0 exp ln x = lim x→-∞ exp⁡ ( X) Or exp ln x =x donc: lim x→0 exp ln x = lim x→0 x=0 donc: lim x→-∞ e x =0 Limite en +∞ lim x→+∞ exp ln x = lim x→+∞ exp⁡ ( X) Or exp ln x =x donc: lim x→+∞ exp ln x = lim x→+∞ x=+∞ donc: lim x→+∞ e x =+∞ 7. 2 Dérivée Propriété 7. 5 La dérivée de la fonction exponentielle sur R est elle-même: pour tout x ∈ R, on a exp ' ( x) = exp( x). Soit f la fonction définie sur R par f ( x) = ln(exp( x)). Pour tout x ∈ R, on a f ( x) = x, donc f' ( x) = 1. Or en utilisant le théorème 6. 1 sur la dérivée d'une fonction composée avec la fonction ln, on a: Pour x ∈ R, f ' x = exp'(x) exp⁡ ( x), Ainsi: exp'(x) exp⁡ ( x) =1 d ' où ex p ' x = exp x. 7. Les fonction exponentielle terminale es tu. 3 Variations et courbe Propriété 7. 6 La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. On a vu que la dérivée de l'exponentielle est elle-même et que l'exponentielle est une fonction strictement positive.

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3) k étant réel, toute fonction du type: g (x) = k x exp (x) a pour dérivée elle-même.

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7. 1 La fonction exponentielle Définition On a vu dans le chapitre précédent que l'équation ln( x) = m admet une unique solution pour tout m ∈ R et cette solution est un réel strictement positif. Autrement dit, pour tout x ∈ R, il existe un unique y > 0 tel que x = ln( y). Définition 7. 1 La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui, à chaque réel x associe le réel strictement positif y vérifiant x = ln( y). La fonction exponentielle est notée exp. Exemple 7. 1 – On a ln(1) = 0 donc exp(0) = 1. – On a ln(e) = 1 donc exp(1) = e, où e est le réel défini au chapitre 6 comme étant l'antécédent de 1 par la fonction ln. e valant environ 2, 718 Remarque 7. 1 On a vu que pour n ∈ Z, ln(e n) = n × ln(e) = n. Donc en utilisant la définition de la fonction exponentielle, on a: pour tout n ∈ Z, exp( n) = e n. Par convention, on généralise cette notation à tous les nombres: pour x ∈ R on note e x l'image de x par la fonction exponentielle. Pour x ∈ R, on a: e x = exp( x) 7. 1. Les puissances | Fonction exponentielle | Cours terminale ES. 2 Premières propriétés Propriété 7.

Se lit: « L » « N » de y. La fonction logarithme népérien sera l'objet d'étude d'un futur module. Ce qu'il est important de comprendre pour l'instant d'un point de vue purement pratique, est que: tout nombre réel y strictement positif peut s'écrire sous forme exponentielle: y = exp(x) avec x = ln y Autrement dit que: Tout nombre réel y > 0 peut s'écrire: y = exp(ln y) Conséquence n° 2: Quels que soient a et b réels:exp(a) = exp(b) ⇔ a = b Démonstration Sens réciproque: si a = b alors exp(a) = exp(b). Sens direct: Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur] 0; [ signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que exp(x) = y. Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b). exp(a) > 0, posons y = exp(a). Si b ≠ a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle. Fonction exponentielle - Cours maths Terminale -Tout savoir sur la fonction exponentielle. Ce qui est contraire qu fait que exp soit une bijection de R sur] 0; [ donc a = b. Utilisation pratique: Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type: exp (x) = k - si k > 0 alors k peut s'écrire k = exp (ln k) et l'équation devient: exp (x) = exp (ln k) D'où: x = ln k, d'après l'équivalence.

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Evaluation, bilan, contrôle avec la correction sur "Grandeurs proportionnelles" pour la 6ème Notions sur la "Proportionnalité" Compétences évaluées Reconnaître une situation de proportionnalité Calculer un coefficient de proportionnalité Consignes pour cette évaluation, bilan, contrôle: Exercice n°1 Voici une liste de situations de la vie courante. Dire pour chacune d'elles sil s'agit d'une situation de proportionnalité en répondant par oui ou par non dans la colonne de droite. Situation Oui ou non J'achète 2 kilogrammes de raisin à 2, 90 € le kilogramme. …………… La consommation de ma voiture est de7 litres aux100 kilomètres. …………… Nat mesurait 76 centimètres à l'âge de 1 an. Grandeurs proportionnelles - 6ème - Evaluation, bilan, contrôle avec la correction - Proportionnalité. À 3 ans, elle mesure 1 mètre. …………… On peut acheter des tablettes de chocolat au prix suivant: 1 tablette: 1, 60 € 3 tablettes: 4, 80 € …………… Un carambar coûte 10 centimes. J'en achète 5. …………… Je paie mon abonnement au stade 50 €, puis je paie 10 € par match. …………… Au supermarché on peut lire: pour 2 boîtes achetées, la 3 ème est gratuite.