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Alors pour tout point M du plan, on a: Preuve car car I est le milieu de [AB] La relation permet, lorsque l'on connaît la longueur des trois cotés d'un triangle, de déterminer la longueur de la médiane. Exemple Dans le triangle précédent, déterminer la longueur D'après la relation précédente,. soit 4. Caractérisation du cercle a. Transformation de l'expression du produit scalaire de deux vecteurs On considère un segment [AB] de milieu I. Pour tout point M du plan, on a. Or I est le milieu de [AB] donc et. On obtient la relation suivante: Puis:. Cette relation va nous permettre de donner une caractérisation d'un cercle en utilisant le produit scalaire. L'ensemble des points M du plan qui vérifient est le cercle de diamètre [AB]. On reprend l'expression précédente. Ce qui donne et donc. Produits scalaires cours simple. Cela signifie que M appartient au cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon, donc au cercle de diamètre [AB]. Dans un repère on donne A(2; 3) et B(1; –5). Donner l'équation du cercle de diamètre [AB].
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III. Analogie avec la physique 1. Cas de vecteurs colinéaires En physique, lorsqu'une force de 10 N est appliquée sur un objet et que celui-ci se déplace de 2 m dans le sens de la force, alors on a ce que les physiciens appellent un travail moteur de 20 J: où F est l'intensité de la force (en newtons) et d le déplacement (en mètres) W = F × d Si par contre, le déplacement a lieu dans le sens opposé à celui de la force, on a un travail résistant de -20 J: W = - F × d L'unité de mesure du travail est le newton-mètre (Nm) ou le joule (J). Produits scalaires cours saint. Dans les deux cas cités ci-dessus, le vecteur force et le vecteur déplacement sont dans la même direction: ils sont colinéaires. 2. Cas de vecteurs quelconques Toujours en physique, lorsque les vecteurs sont quelconques, on a: W = F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d. W = - F' × d où F' est la projection orthogonale de F sur d. En mathématiques, nous retrouvons la deuxième définition. Ainsi, si sont deux vecteurs quelconques et est la projection orthogonale de sur, alors les vecteurs sont colinéaires et il suffit d'appliquer la définition précédente lorsque les vecteurs sont colinéaires.
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Une autre utilisation du produit scalaire est la démonstration des formules d'addition des sinus et cosinus (voir exercice soustraction des cosinus)
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\vec{u} Exemple A B C ABC est un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 1 unité. A B →. A C → = A B × A C × cos ( A B →, A C →) = 1 × 1 × cos π 3 = 1 2 \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)=1\times 1\times \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} Propriété Deux vecteurs u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si: u ⃗. v ⃗ = 0 \vec{u}. Cours de Maths de Première Spécialité ; Le produit scalaire. \vec{v}=0 Démonstration Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc: u ⃗. v ⃗ = 0 ⇔ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ × ∣ ∣ v ⃗ ∣ ∣ × cos ( u ⃗, v ⃗) = 0 ⇔ cos ( u ⃗, v ⃗) = 0 ⇔ u ⃗ \vec{u}. \vec{v}=0 \Leftrightarrow ||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right)=0 \Leftrightarrow \vec{u} et v ⃗ \vec{v} sont orthogonaux Pour tous vecteurs u ⃗, v ⃗, w ⃗ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel k k: ( k u ⃗).
Formule d'Al-Kashi Soit A, B et C trois poins distincts. On pose: $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$. La formule d'Al-Kashi est alors la suivante: $a^2=b^2+c^2-2bc×\cos {A}↖{⋏}$ Cette formule s'appelle aussi Théorème de Pythagore généralisé. Déterminer une mesure de l'angle géométrique ${A}↖{⋏}$ (arrondie au degré près). D'après la formule d'Al-Kashi, on a: Soit: $3^2=4^2+2^2-2×4×2×\cos {A}↖{⋏}$ Et par là: $\cos {A}↖{⋏}={9-16-4}/{-16}={11}/{16}=0, 6875$ A l'aide de la calculatrice, on obtient alors une mesure de $ {A}↖{⋏}$, et on trouve: ${A}↖{⋏}≈47°$ (arrondie au degré) Propriété Produit scalaire et coordonnées Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, {i}↖{→}, {j}↖{→})$. Soit ${u}↖{→}(x\, ;\, y)$ et ${v}↖{→}(x'\, ;\, y')$ deux vecteurs. alors: ${u}↖{→}. {v}↖{→}=xx'+yy'$ Si ${u}↖{→}$ a pour coordonnées $(x\, ;\, y)$, alors $$ ∥{u}↖{→} ∥=√{x^2+y^2}\, \, \, $$ Soit ${u}↖{→}(2\, ;\, 5)$ et ${v}↖{→}(-3\, ;\6)$ deux vecteurs. Quelle est la norme de ${u}↖{→}$? Produits scalaires cours 1ère. Calculer ${u}↖{→}. {v}↖{→}$ Le repère est orthonormé.
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