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Friday, 2 August 2024

C'est la cas par exemple dans le domaine de la météorologie. En effet, prévoir la température externe demande l'intervention de plusieurs variables comme: l'humidité, la vitesse du vent, les précipitations… Dans ce cas on peut toujours appliqué un autre modèle de régression linéaire: la régression linéaire multiple. Dans ce cas, on suppose que la variable à expliquer: suit le modèle suivant: Où:, est une suite de variables aléatoire indépendantes et identiquement distribuées de loi. Dans ce modèle, on a variables à estimées, contrairement au modèle précédent où, on en avait a estimées. En notant:. On choisira pour estimateur de, l'estimateur des moindres carrées comme dans le modèle de régression linéaire simple. Cet estimateur qu'on note est solution du problème d'optimisation suivant: Qui peut encore se re-écrire sous la forme:. Où: correspond à la norme euclidienne: Pour. est le vecteur contenant les observations., est appelée matrice de design, elle possède pour colonnes les observations des variables.

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Sa syntaxe (version simple) est: où: x est le vecteur contenant les valeurs des abscisses y est le vecteur contenant les valeurs des ordonnées deg le degré (un entier) du polynôme d'ajustement. Pour nous, ce sera toujours 1. Cette fonction renvoie un vecteur contenant les coefficient du polynôme par degré décroissants. Ainsi, pour un degré 1 et si on écrit la droite d'ajustement \(Y = aX + b\), le vecteur aura la forme: array([a, b]) 5. Méthode d'utilisation. ¶ Réaliser une régression linéaire demande de la rigueur, il ne faut pas simplement appliquer la formule précédente. Vous devez: Tracer le nuage de points des \((x_i, y_i)\) et vérifier qu'ils sont globalement alignés. Il ne sert à rien de faire une régression linéaire s'il y a des points qui dévient clairement d'un modèle affine ou si la tendance n'est pas affine. Ensuite seulement, utiliser la fonction polyfit pour obtenir les paramètres d'ajustement optimaux. Représenter la droite d'ajustement sur le même graphique pour vérifier qu'elle est cohérente avec les points de mesures.

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C'était évident mais l'idée était de montrer que la régression linéaire n'est pas forcément adaptée à tous les problèmes de régression. Afin d'améliorer notre modèle de régression, penser aux polynômes est une très bonne idée! Pourquoi? Je vous mets de la lecture sur la théorie de l'approximation polynomiale. 🙃 Bref d'où l'idée de la régression polynomiale. La régression polynomiale est une forme d'analyse de régression dans laquelle la relation entre la variable explicative et la variable expliquée est modélisée comme un polynôme. Petit rappel: La régression linéaire est une régression polynomiale de degré 1. Alors pourquoi se limiter à un polynôme de degré 1? 🙈 Si on prend l'exemple de la régression linéaire simple où la relation entre la variable expliquée et la variable explicative peut s'écire comme suit: l'idée de la régression polynomiale sera d'écrire cette relation comme suit: (ou n est le dégré du polynôme) Si on reprend notre précédent exemple en utilisant cette fois-ci une relation polynomiale on s'aperçoit que l'erreur de prédiction est moins élevée et que notre droite de régression s'ajuste mieux à nos données.

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#la variable fitLine sera un tableau de valeurs prédites depuis la tableau de variables X fitLine = predict(X) (X, fitLine, c='r') En effet, on voit bien que la ligne rouge, approche le plus possible tous les points du jeu de données. Joli non? 🙂 Si on prend par hasard, la 22 ème ligne de notre fichier CSV, on a la taille de population qui fait: 20. 27 * 10 000 personnes et le gain effectué était: 21. 767 * 10 000 $ En appelant la fonction predict() qu'on a défini précédemment: print predict(20. 27) # retourne: 20. 3870988313 On obtient un gain estimé proche du vrai gain observé (avec un certain degré d'erreur) >> Téléchargez le code source depuis Github << Dans cet article, nous avons implémenté en Python la régression linéaire univariée. Nous avons vu comment visualiser nos données par des graphes, et prédire des résultats. Pour garder l'exemple simple, je n'ai pas abordé les notions de découpage du jeu données en Training Set et Test Set. Cette bonne pratique permet d'éviter le phénomène de sur-apprentissage.

print ( "--------") print ( "La droite ajustée a pour équation:") print ( str ( p [ 0]) + " * x + " + str ( p [ 1])) print ( "En pratique, il faudrait tronquer aux bons chiffres significatifs") ax. plot ( xi, y_adj, marker = '', label = 'Ajustement', linestyle = '-', color = 'blue') # On voit l'intérêt des options ax. legend () """ Ce sont des fausses données sans incertitude de mesure, on ne va donc pas comparer le modèle ajusté aux résultats expérimentaux. (cf. exercice)""" L'observation des points de mesure montre effectivement une tendance linéaire -------- La droite ajustée a pour équation: 2. 3536193029490615 * x + 3. 6224754244861437 En pratique, il faudrait tronquer aux bons chiffres significatifs ' Ce sont des fausses données sans incertitude de mesure, on ne va donc pas comparer le modèle ajusté aux résultats expérimentaux. exercice)'

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