Preuve : Inégalité De Convexité Généralisée [Prépa Ecg Le Mans, Lycée Touchard-Washington]

Blague Sur Les Gendarmes
Tuesday, 25 June 2024

Leçon 253 (2020): Utilisation de la notion de convexité en analyse. Dernier rapport du Jury: (2019: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. ) Il s'agit d'une leçon de synthèse, très riche, qui mérite une préparation soigneuse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n'est pas nécessairement attendu dans le plan. Il s'agit d'aborder différents champs des mathématiques où la convexité intervient. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation (par exemple de la fonctionnelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... ). Les fonctions convexes élémentaires permettent aussi d'obtenir des inégalités célèbres. On retrouve aussi ce type d'argument pour justifier des inégalités de type Brunn-Minkowski ou Hadamard. Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités.

Inégalité De Convexité Généralisée

$$ On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski: $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}. $$ On définit pour $x=(x_1, \dots, x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}. $$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$. Enoncé Démontrer que, pour tout $x>1$, on a $${x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right). $$ Propriétés des fonctions convexes Enoncé Soient $f, g:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que $f$ et $g$ soient convexes, et $g$ est croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe. Enoncé Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction convexe et strictement croissante. Étudier la convexité de $f^{-1}:f(I)\to I. $ Enoncé Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$ convexe. Démontrer que $f$ est continue sur $I$. Le résultat subsiste-t-il si $I$ n'est plus supposé ouvert? Enoncé Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ et convexe.

Inégalité De Convexité Démonstration

Bonjour, Je voudrais montrer que si f est convexe et continue sur $[a, b]$, alors: \begin{equation*} \ f(\dfrac{a+b}{2})\leq\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\dfrac {f(a)+f(b)}{2} \end{equation*}L'inégalité de droite est simple, il suffit d'intégrer: \ f(x)\leq\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) \end{equation*}Pour l'inégalité de gauche, c'est simple si on suppose que f est dérivable.. On intègre: \ f'(\dfrac{a+b}{2})(x-\dfrac{a+b}{2})+f(\dfrac{a+b}{2}) \leq\ f(x) \end{equation*}Comment faire lorsque f n'est pas dérivable? L'inégalité de départ porte-t-elle un nom? Connaissez-vous d'autres inégalités de convexité, mis-à-part celles de Jensen, Young, Hölder, Minkowsky, comparaison de la moyenne arithmétique et géométrique?

Inégalité De Convexité Sinus

Voici la question et la réponse: Question: Réponse rapide: Voici ce que j'ai écrit sur ma copie: Si vous voulez aller plus loin sur ce thème, vous pouvez faire le sujet Maths I HEC ECS 1997, un peu difficile mais très formateur. Conclusion Vous savez maintenant tout ce qu'il y a à savoir sur la convexité des fonctions. Les deux exemples que nous venons de voir sont à connaître par cœur car ces questions tombent très souvent aux concours (et c'est plus classe d'y répondre comme cela plutôt que de tout passer d'un côté et d'étudier la fonction). On se retrouve très bientôt pour de nouvelles astuces mathématiques, et pendant ce temps-là, entraînez-vous!

Inégalité De Convexité Exponentielle

\(f\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(I\) \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est décroissante sur \(I\). De cette propriété vient naturellement la suivante… Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\) \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0\) Si \(f^{\prime\prime}\geqslant 0\), alors \(f\) est convexe: Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\). Soit \(a\in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \] Pour tout \(x\in I\), posons alors \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))\). \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\) \(g'(x)=f'(x)-f'(a)\) \(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\) Ainsi, puisque pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\), on a aussi \(g^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\).

Pour déterminer p, on traduit le fait que le point B ( b, f ( b)) appartienne à la droite (AB): on a f ( b) = f ( b) − f ( a) b − a b + p, d'où p = f ( b) − f ( b) − f ( a) b − a b. Ainsi, l'équation réduite de la tangente cherchée est: y = f ( b) − f ( a) b − a x + f ( b) − f ( b) − f ( a) b − a b, soit y = f ( b) − f ( a) b − a ( x − b) + f ( b). c) Déduire une inégalité traduisant la convexité Par hypothèse, f est convexe sur I, donc C est située au-dessous de ses sécantes ou cordes. La droite ( AB) est une sécante de C. Considérons les points N et P de même abscisse x 0 (compris entre les abscisses de A 0 et B 0), N étant un point de la droite ( AB) et P un point de la courbe C. La fonction f étant convexe sur I, P est donc au-dessous de N, ce qui se traduit par le fait que l'ordonnée de P soit inférieure à celle de N. P a pour coordonnées ( t a + ( 1 − t) b; f ( t a + ( 1 − t) b)) car P est un point de C. N a pour ordonnée y 0 telle que: y 0 = f ( b) − f ( a) b − a ( x 0 − b) + f ( b) = f ( b) − f ( a) b − a ( t a + ( 1 − t) b − b) + f ( b), soit y 0 = f ( b) − f ( a) b − a ( t ( a − b)) + f ( b) = − t ( f ( b) − f ( a)) + f ( b) = t f ( a) + ( 1 − t) f ( b).

Pour f un élément de L², quel est son projeté? (le projeté est f_+ = max(0, f), ceci se prouve directement à l'aide de la caractérisation du projeté). - Soit K un compact de E evn. On pose E l'ensemble des x tels que pour tout f forme linéaire sur E, f(x) =< sup_K (f). Que peut-on dire sur E? (c'est un convexe fermé). Il devait y avoir une suite à cet exercice, mais mon oral s'est terminé là-dessus. Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant)? Plutôt distant, sans forcément être froid. Ils n'ont pas hésités à m'indiquer si mon intuition ou si mes pistes étaient intéressantes, afin de m'encourager à poursuivre dans cette direction. L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points? Cette question concerne aussi la préparation. L'oral s'est déroulé normalement (à part le fait que j'ai fais mon oral sur un tableau blanc). La note me semble curieuse, car je ne vois pas du tout comment j'aurais pu améliorer mon oral, mais bon. Je vais pas m'en plaindre hein!