Bureau Tabac Toulouse Ouvert Dimanche - Intégrale Impropre Exercices Corrigés

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Pour quelles valeurs de $a\in\mathbb R$ l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-ax}\arctan xdx$ est-elle convergente? On note $\mathcal D$ cet ensemble de valeurs et pour $a\in\mathcal D$, on note $I(a)$ la valeur de l'intégrale impropre. Soit $a\in\mathcal D$. Démontrer que $\displaystyle I(a)=\frac1{a^2}-\frac{2}{a^2}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx$. Démontrer que la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{x}{(1+x^2)^2}$ est bornée sur $\mathbb R_+$. En déduire que $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx=0$. Déterminer un équivalent simple de $I(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$. Démontrer la convergence de l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^{3/4}}dx$. On pourra comparer avec $\frac 1{x^\alpha}$ pour $\alpha$ bien choisi. Exercices corrigés : Intégrales généralisées MP, PC, PSI, PT. Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$. En déduire la convergence de $\int_0^1\frac{\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)}{x^{3/4}}dx$. Donner un équivalent simple au voisinage de $+\infty$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$.

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