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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Équations non linéaires Dans le chapitre « L'équation de Korteweg et de Vries »: […] En 1865, Scott Russell observa sur un canal rectiligne une onde de surface créée par le choc de deux péniches, qu'il appela onde solitaire; il fut frappé par la stabilité du phénomène et raconte qu'il put la suivre à cheval, à vitesse constante, pendant plusieurs kilomètres. Théorème de liouville 1. Pour expliquer ce phénomène, dit de soliton, on peut utiliser un système de deux équations à une dimension d'espace: dans […] […] Lire la suite DIOPHANTIENNES APPROXIMATIONS Écrit par Marcel DAVID • 4 514 mots Dans le chapitre « Approximations des irrationnels algébriques »: […] On dit qu'un irrationnel τ est rationnellement approchable à l'ordre α s'il existe une constante dépendant de τ, soit K(τ), telle que: ait une infinité de solutions. On voit sans peine qu'un rationnel u / v est approchable à l'ordre 1 et pas au-delà. D'autre part, les propriétés des fractions continuées montrent que tout irrationnel est approchable à l'ordre 2 au moins et qu'un irrationnel quadr […] […] FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe Jean-Luc VERLEY • 12 743 mots • 9 médias Dans le chapitre « Les inégalités de Cauchy »: […] Soit f une fonction analytique dans un disque D(0, R); la fonction f ( z) est donc somme dans D(0, R) d'une série entière dont les coefficients a n sont donnés par la formule (10).
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Exemples Le corps K = C ( x) des fractions rationnelles à une variable, muni de la dérivée usuelle, est un corps différentiel; son corps des constantes s'identifie à C.
En mécanique classique On utilise les coordonnées généralisées ( q, p) [ 1] où N est la dimension du dispositif. La densité de probabilité est définie par la probabilité de rencontrer l'état [ 2] du dispositif dans le volume illimitétésimal. Quand on calcule l'évolution temporelle cette densité de probabilité ρ ( p, q), on obtient: On utilise alors les équations canoniques de Hamilton, en les remplaçant dans l'équation précédente: d'où: en utilisant les crochets de Poissons. Théorème de liouville paris. Démonstration On considère l'équation de continuité d'un dispositif conservatif: or le second terme vaut [ 3]: On obtient bien: En mécanique quantique D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique: d'où on déduit: Ici, est l' opérateur hamiltonien et ρ la matrice densité. Quelquefois cette équation est aussi appelée l'équation de Von Neumann.