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La fonction définie sur par est une densité de probabilité. Définition: loi exponentielle de paramètre Soit un nombre réel strictement positif. Une variable aléatoire à densité suit la loi exponentielle de paramètre si sa densité est la fonction définie sur par: Densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre Remarque. Le paramètre est égal à l'ordonnée du point de la courbe représentant la densité situé sur l'axe des ordonnées car. Cours loi de probabilité à densité terminale s blog. Soit une variable aléatoire à densité qui suit la loi exponentielle de paramètre. Quels que soient les nombres réels positifs et, on a: Pour tout réel positif, on a: Définition: espérance d'une loi exponentielle On définit l'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre en posant: L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre est telle que: Propriété: durée de vie sans vieillissement Une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle est telle que, pour tous réels et positifs, on a: Cette propriété est appelée propriété de durée de vie sans vieillissement.
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• Pour tous réels c et d de I, p(c < X
< d) = p(X
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Soit un réel positif a. p\left(X \leq a\right) =\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda t} \ \mathrm dt= 1 - e^{-\lambda a} p\left(X \gt a\right) = 1 - P\left(X \leq a\right) = e^{-\lambda a} Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=2 alors: P\left(X \leq 3\right)= 1 - e^{-2\times 3}=1-e^{-6} P\left(X \gt 4\right) = e^{-2\times 4}=e^{-8} Loi de durée de vie sans vieillissement Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda ( \lambda\gt0). Pour tous réels positifs t et h: P_{\, \left(T \geq t\right)}\left(T\geq t+h\right)=P\left(T\geq h\right) Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \lambda=2. P_{\, \left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 5\right)=P_{\, \left(T \geq 1\right)}\left(T\geq 1+4\right)=P\left(T\geq 4\right) Espérance d'une loi exponentielle Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda\gt0 alors: E\left(X\right)=\dfrac{1}{\lambda} Si X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda=10 alors: E\left(X\right)=\dfrac{1}{10}=0{, }1.
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V La loi normale générale Loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) Une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) ( \mu \in \mathbb{R}, \sigma \in \mathbb{R}^{+*}) si et seulement si la variable aléatoire \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite. Espérance d'une loi normale Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), son espérance est alors égale à: E\left(X\right) = \mu Variance d'une loi normale Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), sa variance est alors égale à: V\left(X\right) = \sigma^2 et son écart-type est donc égal à \sigma. On observe que plus \sigma augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) est "aplatie". TES/TL – Exercices – AP – Lois de probabilité à densité - Correction. De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire symétrique par rapport à la droite d'équation x=\mu. Si \mu=0 et \sigma=1, on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite. Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), on a les valeurs remarquables suivantes: p\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0{, }683 p\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0{, }954 p\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0{, }997 N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N\left(\mu;\sigma^2\right), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.
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