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Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Une suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n. $$ On étudie ces suites en introduisant l'équation caractéristique $$r^2=ar+b$$ et on étudie les suites vérifiant une telle relation de récurrence en fonction des racines de cette équation caractéristique. Premier cas: l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, $r_1$ et $r_2$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n. $$ Les réels $\lambda$ et $\mu$ peuvent être déterminés à partir de la valeur de $u_0$ et $u_1$. Deuxième cas: l'équation caractéristique admet une racine double $r$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a $$u_n=\lambda r^n+\mu nr^n. $$ Troisième cas: l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjugués, de la forme $re^{i\alpha}$ et $re^{-i\alpha}$.
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Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par minoura 01-02-17 à 09:10 Bonjour, svp comment peut-on déterminer les solution du suite linéaire d'ordre 2 sans avoir U0 dans l'énoncé, merci bcp d'avance Posté par Manny06 re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 10:14 est ce une suite du type u n+2 =au n+1 +bu n Posté par minoura re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 10:32 oui effectivement Posté par DOMOREA re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 10:38 bonjour, Fais comme si u 0 était connu. Posté par minoura re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 10:47 je la donne une valeur quelconque et la réponse sera juste? Posté par DOMOREA re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 10:53 re, non, tu gardes u 0 comme paramètre (donné mais non explicité) Posté par minoura re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 10:59 ça reste flou mais merci en tt cas Posté par alainpaul re: suite récurrente linéaire d'ordre 2 01-02-17 à 11:10 Bonjour, Je propose d'écrire cette suite sous forme géométrique: Sauf erreur, cela revient à résoudre le sytème: ou encore: Remarque:même avec a et b réels, les valeurs de c et d peuvent être complexes.
Si w: * vérifie w( n+2) = w(n + 1) + w(n) + ln(n) pour tout n, la suite v: n u(n + 1) - bu(n) vérifie v(n + 1) - av(n) = ln(n) pour tout n. Ceci permet de trouver une expression simple des v(n) puis des w(n). On peut remarquer que les w qui vérifient w( n+2) - w(n + 1) - w(n) = ln(n) pour tout n forment un -espace affine E de dimension 2 dont la direction est le -ev H formé des w qui vérifient w( n+2) - w(n + 1) - w(n) = 0. Une base de H est ( r, s) où s est la suite n a n et t la suite n ab n. Pour avoir E il suffit alors de trouver une solution particulière; par exemple celle qui envoi (1, 2) sur (0, 0). Posté par Ariel25 re: Suite récurrente du second ordre avec second membre 25-12-19 à 08:18 Bonjour et merci Je sais exprimer les solutions de l'équation sans second membre ici à l'aide du nombre d'or Mais comment trouver une solution particulière? Méthode de la variation des constantes?
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