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3- Utiliser le signe de la fonction $f'$ pour dresser le tableau de signe de la fonction $f$ sans oublier de calculer les limites nécessaires. 4- Connaissant le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1, +\infty[$, il est facile de déduire le sens de variation de la suite $u_n$ qui est tel que $f(n)=u_n$. Besoin des contrôles dans un chapitre ou un lycée particulier?
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Exercices 5: Variations d'une suite définie par récurrence On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = u_n^2 - 2u_n + 3$ et $u_0 = 1$. 1) Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. 2) Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$. 3) Montrer que pour tout réel $x$, $x^2 -3x + 3 >0$. 4) Démontrer votre conjecture. Sens de variation d une suite exercice corrigé un. Exercices 6: Suite définie par récurrence et sens de variations - Quantité conjuguée On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$. On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2+x}$. 1) A l'aide du graphique, représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$. 3) Dans la suite de l'exercice, on admet que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 2$. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\frac{-{u_n}^2+u_n+2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}}$.
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