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Une étiquette peut correspondre à un texte ou à un nombre. On appelle graphe pondéré un graphe étiqueté dont les étiquettes sont toutes des nombres positifs. Le poids d'une chaîne d'un graphe pondéré est la somme des poids des arêtes qui forment cette chaîne. On appelle plus courte chaîne entre deux sommets une chaîne de poids minimum reliant ces deux sommets. Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes ont un sens. Le terme a_{i, j} de la matrice associée à un graphe orienté est égal au nombre d'arêtes d'origine i et d'extrémité j. Graphes étiquetés terminale es laprospective fr. Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré où, pour chaque sommet, la somme des poids des arêtes sortantes est égale à 1. Dans un graphe probabiliste, chaque sommet correspond à un état. L'état probabiliste d'un graphe probabiliste est la loi de probabilité sur l'ensemble des états. Cette loi est présentée sous la forme d'une matrice ligne, où chaque terme est égal à la probabilité de l'état correspondant. La matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes, où le terme a_{i, j} est égal au poids de l'arête d'origine i et d'extrémité j ou à 0 si cette arête n'existe pas.
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II Inverse d'une matrice carrée Inverse d'une matrice carrée Une matrice carrée A d'ordre n est inversible si et seulement s'il existe une matrice B telle que AB=BA=I_n. On note cet unique inverse A^{-1}. Graphes étiquetés terminale es les fonctionnaires aussi. Écriture matricielle d'un système d'équations La forme matricielle du système \begin{cases}ax + by = s \cr cx + dy = t\end{cases} est \begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}. Si \begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix} est inversible, alors la matrice colonne des solutions est: \begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}^{-1}\times\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}. III Puissance d'une matrice carrée Puissance d'une matrice carrée Soit un entier naturel n non nul et une matrice carrée A. A^n=A\times A\times A\times \cdot\cdot\cdot \times A Pour tous entiers naturels n et m et toute matrice carrée A: A^m \times A^n=A^{m+n} On appelle graphe un ensemble de sommets, qui peuvent être reliés deux à deux par des arêtes.
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On dit que la matrice d'adjacence est symétrique \(\Leftrightarrow\) \(a_{ij}=a_{ji}\) pour tous les \(i, j\) Matrice d'Adjacence d'un graphe Pondéré ⚓︎ Matrice d'Adjacence d'un graphe pondéré Un graphe pondéré (orienté, ou pas) peut être représenté par une matrice d'adjacence: tout lien depuis le sommet i vers le sommet j, est représenté par \(A[i][j] = a_{ij}\) où \(a_{ij}\) désigne le poids du lien du sommet i vers le sommet j G 0 0 0->0 3 1 1 0->1 2 1->1 4 2 2 1->2 0. 5 3 3 1->3 0. 2 2:e->2:s 0. 6 3->2 5 Graphe 3 Orienté G 0 0 1 1 0--1 4 2 2 0--2 5 1--2 0. 1 3 3 1--3 0. 3 4 4 1--4 0. 2 2--3 0. 8 3--4 0. 9 Graphe 4 Non Orienté \(M_3=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0. 5 & 0. 2\\ 0 & 0 & 0. 6 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 0\\ Matrice d'adjacence Graphe 3 Matrice NON Symétrique \(M_4=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 5 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0. 1 & 0. 3 & 0. 2\\ 5 & 0. 1 & 0 & 0. 8 & 0\\ 0 & 0. Devoirs spécialité TES - 2013-2014. 8 & 0 & 0. 9\\ 0 & 0. 2 & 0 & 0. 9 & 0\\ Matrice d'adjacence Graphe 4 Matrice Symétrique M3 = [[ 3, 2, 0, 0], [ 0, 4, 0.
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• Le graphe G3 est étiqueté, non orienté. 55 0 obj endobj 246 0 obj <>stream Un bilan du chapitre. Terminale ES Spécialité... Utiliser l'algorithme de Dijkstra dans un graphe pondéré pour déterminer le chemin le plus court entre deux sommets. <>%PDF-1. 3 graphe, chaîne, longueur d'une chaîne, graphe complet, distance entre deux sommets, diamètre, sous-graphe stable, graphe connexe, nombre chromatique, chaîne eulé-rienne, matrice associée à un graphe, matrice de transition pour un graphe pondéré par des probabilités. <> Pour graphe 4, on numérote les sommets dans l'ordre alphabétique, 1 pour A, 2 pour B, 3 pour C et 4 pour D. Matrices et graphes - TES - Fiche bac Mathématiques - Kartable. Pour la 1 ère ligne, A n'est pas en relation avec lui-même (pas de boucle), donc 1 ère ligne, 1 ère colonne on met 0. %PDF-1. 5% d'Euler-Hierholzer, matrice d'ajacence), les Graphes au Bac avec l'Algorithme de Dijkstra: partie 1, Graphes Pondérés et Algorithme de Dijkstra, Terminale ES Option Maths: Les Graphes Probabilistes. endstream endobj startxref 794 1. b. Dans un graphe orienté, la somme des poids des arcs issus d'un même sommet est égale à 1.
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I Les graphes non orientés A Les principes élémentaires On appelle graphe un ensemble de points et de lignes reliant certains de ces points. Les points sont appelés sommets du graphe, les lignes arêtes du graphe. L'ordre d'un graphe désigne le nombre de ses sommets. L'ordre de ce graphe est 6. Deux sommets d'un graphe reliés par une arête sont dits adjacents. Les sommets 2 et 3 sont adjacents. Les sommets 2 et 4 ne sont pas adjacents. Deux sommets peuvent être reliés par plusieurs arêtes. Le degré d'un sommet désigne le nombre d'arêtes dont ce sommet est l'origine. Le degré du sommet 1 est 4. Graphes étiquetés terminale es.wikipedia. Le degré du sommet 6 est 2. Somme des degrés et nombre d'arêtes La somme des degrés des sommets d'un graphe non orienté est égale au double du nombre d'arêtes que comporte ce graphe. Sommet 1 2 3 4 5 6 Somme des degrés Degré 4 2 3 2 1 2 14 Le nombre d'arêtes de ce graphe est 14\div 2=7. La matrice associée (ou matrice d'adjacence) à un graphe d'ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes, où le terme a_{i, j} est égal au nombre d'arêtes partant du sommet i pour aller jusqu'au sommet j.
État probabiliste à l'instant n Soient M la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre n, et P_{0} l'état initial. La matrice ligne P_{n} de l'état probabiliste à l'instant n est égale à: P_{n} = P_{0} \times M^{n} Soit un graphe d'ordre n associé à une expérience donnée. On appelle état stable un état probabiliste qui n'évolue pas lors de la répétition de l'expérience. Soit M la matrice de transition d'un graphe probabiliste d'ordre 2. Si M ne contient pas de 0, alors: L'état P_n à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P_0. Les graphes - TES - Cours Mathématiques - Kartable. P est l'unique de solution de l'équation P\times M=P.
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