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Wednesday, 26 June 2024

Décliner Faire correspondre Pour l'équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (hamiltonien). For Liouville's equation in dynamical systems, see Liouville's theorem (Hamiltonian). WikiMatrix Mais la preuve du theoreme de Liouville repose sur la formule integrale de Cauchy. But the proof of Liouville's theorem rests on the Cauchy integral formula. Literature Déduire du théorème de Liouville sur les fonctions entières bornées que f est un polynôme. Deduce from Liou- j= 0 ville's theorem on bounded entire functions that f is a polynomial. Le deuxieme terme du second membre exprime la conservation de 1'energie ( theoreme de Liouville). The second term of the right-hand part expresses the conservation of energy ( the Liouville theorem). Une fonction entière (c'est-à-dire holomorphe dans le plan complexe tout entier) et bornée est nécessairement constante; c'est l'énoncé du théorème de Liouville. A bounded function that is holomorphic in the entire complex plane must be constant; this is Liouville's theorem.

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Pages pour les contributeurs déconnectés en savoir plus Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville. En mathématiques, et plus précisément en analyse et en algèbre différentielle (en), le théorème de Liouville, formulé par Joseph Liouville dans une série de travaux concernant les fonctions élémentaires entre 1833 et 1841, et généralisé sous sa forme actuelle par Maxwell Rosenlicht en 1968, donne des conditions pour qu'une primitive puisse être exprimée comme combinaison de fonctions élémentaires, et montre en particulier que de nombreuses primitives de fonctions usuelles, telle que la fonction d'erreur, qui est une primitive de e − x 2, ne peuvent s'exprimer ainsi. Un corps différentiel est un corps commutatif K, muni d'une dérivation, c'est-à-dire d'une application de K dans K, additive (telle que), et vérifiant la « règle du produit »: Si K est un corps différentiel, le noyau de, à savoir est appelé le corps des constantes, et noté Con( K); c'est un sous-corps de K. Étant donnés deux corps différentiels F et G, on dit que G est une extension logarithmique de F si G est une extension transcendante simple de F, c'est-à-dire que G = F ( t) pour un élément transcendant t, et s'il existe un s de F tel que.

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En analyse complexe, le théorème de Liouville est un résultat portant sur les fonctions entières (les fonctions holomorphes sur tout le plan complexe). Alors qu'il existe un grand nombre de fonctions infiniment dérivables et bornées sur la droite réelle, le théorème de Liouville affirme que toute fonction entière bornée est constante. Ce théorème est dû à Cauchy. Ce détournement est l'œuvre d'un élève de Liouville qui prit connaissance de ce théorème aux cours lus par ce dernier [ 1]. Énoncé [ modifier | modifier le code] Le théorème de Liouville s'énonce ainsi: Théorème de Liouville — Si f est une fonction définie et holomorphe sur tout le plan complexe, alors f est constante dès lors qu'elle est bornée. Ce théorème peut être amélioré: Théorème — Si f est une fonction entière à croissance polynomiale de degré au plus k, au sens où: alors f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à k. Démonstration La démonstration proposée, relativement courte, s'appuie sur l' inégalité de Cauchy.

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Cette page d' homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Le mathématicien Joseph Liouville a laissé son nom à plusieurs théorèmes: le théorème de Liouville en analyse complexe; le théorème de Liouville pour certains systèmes dynamiques; le théorème de Liouville en approximation diophantienne; le théorème de Liouville en mécanique hamiltonienne. le théorème de Liouville étudiant la possibilité d'exprimer certaines primitives à l'aide des fonctions usuelles. Voir aussi Théorie de Sturm-Liouville Équation de Liouville Formule de Liouville (en) Portail des mathématiques

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théorème d'analyse complexe Encyclopédie Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre En analyse complexe, le théorème de Liouville est un résultat portant sur les fonctions entières (les fonctions holomorphes sur tout le plan complexe). Alors qu'il existe un grand nombre de fonctions infiniment dérivables et bornées sur la droite réelle, le théorème de Liouville affirme que toute fonction entière bornée est constante. Ce théorème est dû à Cauchy. Ce détournement est l'œuvre d'un élève de Liouville qui prit connaissance de ce théorème aux cours lus par ce dernier [ 1]. Énoncé Le théorème de Liouville s'énonce ainsi: Théorème de Liouville — Si f est une fonction définie et holomorphe sur tout le plan complexe, alors f est constante dès lors qu'elle est bornée. Ce théorème peut être amélioré: Théorème — Si f est une fonction entière à croissance polynomiale de degré au plus k, au sens où: alors f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à k. Démonstration La démonstration proposée, relativement courte, s'appuie sur l' inégalité de Cauchy.

D'autres démonstrations possibles reposent indirectement sur la formule intégrale de Cauchy [ 2]. Premier énoncé Soit une fonction entière f, qui soit bornée sur C. Dans ce cas, il existe un majorant M du module de f. L'inégalité de Cauchy s'applique à f et à tout disque de centre z et de rayon R; elle donne:. Si on fixe z et qu'on fait tendre R vers l'infini, il vient:. Par conséquent, la dérivée de f est partout nulle, donc f est constante. Second énoncé On suppose que la fonction entière f est à croissance polynomiale. L'inégalité de Cauchy est de nouveau appliquée au disque de centre z et de rayon R:. À nouveau, en faisant tendre R vers l'infini, il vient: Par primitivations successives, la fonction f est une fonction polynomiale en z et son degré est inférieur ou égal à k. Le théorème peut être démontré en utilisant la formule intégrale de Cauchy pour montrer que la dérivée complexe de f est identiquement nulle, mais ce n'est pas ainsi que Liouville l'a démontré; et plus tard Cauchy disputa à Liouville la paternité du résultat.

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