Peugeot - 208 - Rétroviseur 208 | Autoparts24 / Fonction Gamma Démonstration Level
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Inscription / Connexion Nouveau Sujet Niveau Reprise d'études-Ter Posté par Slpok 07-06-17 à 23:34 Bonsoir, J'ai un amis qui m'a demandé de faire la démonstration que. Du coup je me suis lancé mais j'ai un peu de mal. Je vous laisse avec tout ce que j'ai sur ma feuille. J'utilise l'IPP en disant que si on a deux fonction p et q on obtient: Maintenant on évalue Gamma quand x = x+1 On voit que On obtient donc: On remarque que: Donc que Donc on cherche à évaluer Et là je bloque. Je me doute qu'il doit y avoir une manip à faire mais j'arrive pas à trouver. Merci pour l'aide que vous m'apporterez. PS: normalement la limite doit être égale à 0, c'est simplement la règle à appliquer que je ne trouve pas. Posté par EvDavid re: fonction gamma demonstration 08-06-17 à 01:39 Bonsoir, Les polynômes sont négligeables devant l'exponentielle au voisinage de l'infini. Sinon vous pouvez transformer le b^(x) en e^(xln(b)) et faire un calcul de limite ^^ Posté par EvDavid re: fonction gamma demonstration 08-06-17 à 01:41 Je m'excuse du double post je viens de m'apercevoir que vous avez écrit: Slpok @ 07-06-2017 à 23:34 mais dès que vous faite la limite alors il faudrait enlever les crochets... Posté par Slpok re: fonction gamma demonstration 08-06-17 à 09:18 Pas moyen d'utiliser L'hopital?
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Nous définissons la fonction Gamma d'Euler (intégrale Eulérienne de deuxième espèce) par l'intégrale suivante: (10. 401) avec x appartenant à l'ensemble des nombres complexes dont la partie réelle est positive et non nulle (donc les réels strictement positifs sont inclus dans le domaine de définition aussi... )! Effectivement, si nous prenons des complexes avec une partie réelle nulle ou négative, l'intégrale diverge et est alors non définie! Remarque: Nous avons déj rencontré cette intégrale et certaines de ses propriétés (qui vont être démontrées ici) lors de notre étude des fonctions de distribution Bta, Gamma, Khi-deux, Student et Fisher en statistiques ( cf. chapitre de Statistiques). Nous utiliserons également cette intégrale en maintenance ( cf. chapitre de Techniques De Gestion), en théorie des cordes ( cf. chapitre de Théorie Des Cordes) et dans d'autres domaines de l'ingénierie (voir la section correspondante). Voici un tracé graphique du module de la fonction Gamma d'Euler pour x parcourant un intervalle des nombres réels (attention dans Maple à bien écrire GAMMA en majuscules!!!
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Proposition: G est C, avec G (n) = Démonstration: Posons f n (x) =. On a alors, pour tout n, f n est C et pour tout entier k, f n (k) (x) = Il est alors évident que f n converge simplement vers G et même plus généralement, quelque soit k, f n (k) converge simplement vers G k =. Nous allons maintenant montrer qu'il y a convergence uniforme sur tout segment [a, b] R +*. Soit k N. Soit e > 0. Soient a, b R, tels que 0 < a < b. x [a, b], |f n (k) (x) - G k (x)| +. Par convergence simple de f n (k) (a) vers G k (a), il vient: N 1 N / n > N 1, <. Par convergence simple de f n (k) (b) vers G k (b), il vient: N 2 N / n > N 2, Posons N 3 = Max(N 1, N 2). Il vient alors: n > N 3, x [a, b], |f n (k) (x) - G k (x)| < e. La convergence uniforme est donc démontrée. Il s'en suit que G 0 (= G) est C, et donc que G (n) =. (Voir le cours sur les suites de fonctions) Graphe de G. G est convexe G est logarithmiquement convexe Nous allons donc montrer que ln( G) est convexe Proposition G (x+1) = x. G (x).
Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme α = k et d'un paramètre d'intensité:. Les deux paramétrages sont également répandus, selon le contexte. Somme [ modifier | modifier le code] Si chaque X i suit la loi Γ( k i, θ) pour i = 1, 2,..., N, et si les variables aléatoires X i sont indépendantes, alors:. Changement d'échelle [ modifier | modifier le code] Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ( k, t θ) où θ est le paramètre d'échelle ou Γ( α, β/ t) où β est le paramètre d'intensité ( rate parameter). Lien avec les autres distributions [ modifier | modifier le code] Contraintes sur les paramètres [ modifier | modifier le code] Si, alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ. Si, alors X est identique à une variable χ 2 ( ν), la distribution de la loi du χ² avec ν degrés de liberté. Si k est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang. Si, alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.
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