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On a alors a = ρ cos(θ), b = ρ sin(θ) et ρ =√a2 + b Propriété 1 (MODULE ET ARGUMENT) Alors si z = ρeiθ et z 0 = eiθ0, on a zz0 = ρei(θ+θ0). Donc une multiplication par un nombre complexe de module 1 correspond à une rotation. C'est à cause de cet effet qu'on utilise les nombres complexes pour modéliser les phénomènes oscillants. 2. 1 Suites complexes Rappels suites complexes, limsup de suites réelles Une suite complexe est une application N → C n 7→ zn. Cours sma s3 1. Définition 1 (SUITE COMPLEXE) Pour définir la convergence des suites complexes, on définit les voisinages dans C. Soit z ∈ C. On dit que V ⊂ C est un voisinage de z si et seulement s'il existe ε > 0 tel que D(z, ε) = {z 0 ∈ C tq |z − z | ≤ ε} ⊂ V. Définition 2 (VOISINAGE) Remarque On peut aussi prendre D(z, ε) = {z 0 | < ε}. La définition de limite de suite dans C est alors la même que dans R. Soit (zn)n ∈ N une suite complexe et soit l ∈ C. On dit que l est la limite de (zn)n ∈ N, et on note l = lim n→+∞ zn si et seulement si pour tout V voisinage de l, il existe NV ∈ N tel que pour tout n ≥ NV, zn ∈ V. Définition 3 (LIMITE D'UNE SUITE) Remarque 1. l = lim n→+∞ zn signifie donc pour tout ε > 0, il existe Nε ∈ N tel que n ≥ Nε ⇒ |zn − l| ≤ ε (c'est à dire zn ∈ D(l, ε)).
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1 Applications deux fois différentiables 6. 2 Exemples de différentielles d'ordre 2 6. 3 Matrice Hessienne 6. 4 Différentielle d'ordre k 6. 5 Formule de Taylor avec reste intégral 6. 5. 1 Fonction d'une variable réelle à valeur réelle 6. 2 Fonction d'une variable réelle à valeurs dans Rq 6. 3 Fonction de Rp à valeurs dans Rq 6. 6 Formule de Taylor-Lagrange 6. 1 Fonction d'une variable réelle à valeur dans Rq 6. 2 Fonction de Rp à valeur dans Rq 6. 7 Formule de Taylor-Young 7 Extrema 7. 1 Rappels d'algèbre 7. 2 Extrema libres 7. 1 Condictions nécessaires du premier ordre 7. 2 Conditions du second ordre 7. 3 Critères avec les matrices Hessiennes 7. 4 Cas particulier où f: R2 → R 7. 3 Extrema liés 7. 3. 1 Contraintes 7. 2 Extrema liés avec une seule contrainte 7. Informatique S3 ~ Cours SMI SMA gratuits. 3 Extrema liés avec plusieurs contraintes 7. 4 Convexité et minima programme de ce module: M16: Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables Ch. I. Espaces vectoriels normés et topologie de (4 séances) Normes, Normes équivalentes.
5 Sommation par paquets, produit........................... 24 4 Suites de fonctions 27 4. 1 Propriétés des limites uniformes........................... 30 5 Série de fonctions 33 5. 1 DEFINITION..................................... 33 6 Séries entières 37 6. 1 Opérations sur les séries entières........................... 39 6. 2 Propriétés fonctionnelles d'une série entière..................... 40 7 Fonctions développables en séries entières 43 7. 1 L'exemple de l'exponentielle complexe....................... 43 7. 2 Développement en série entière............................ 44 7. Mathématiques - Faculté des Sciences de Meknès. 3 Développement des fonctions usuelles........................ 46 8 Séries de Fourier 49 8. 1 Interprétation géométrique des séries de Fourier................... 54 9 INTEGRALES DEPENDANT D'UN PARAMETRE 57 9. 1 Intervalle d'intégration J compact.......................... 58 9. 1. 1 Bornes d'intégration constantes....................... 2 Bornes d'intégration variables........................ 60 9. 2 Intervalle d'intégration J non borné......................... 61 9.