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Neuf énoncés d'exercices de calcul intégral (fiche 04): intégrales impropres. Déterminer la nature de chacune des six intégrales impropres suivantes: Soit continue et possédant en une limite (finie ou infinie). Montrer que si l'intégrale impropre converge, alors Attention! Cette intégrale peut très bien converger sans que n'admette de limite en Voir à ce sujet l'exercice n° 7 ci-dessous ou bien ici. Montrer que, pour tout: On considère, pour, les intégrales impropres (dites « de Bertrand »): Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante de convergence est: Ces intégrales doivent être considérées comme des « intégrales de référence ». Séries de Bertrand - Ce qu’il faut savoir Comparaison à une intégrale. On pose, pour tout: Calculer et montrer que Quelle est la nature de la série? Montrer que pour tout et pour tout: En déduire le calcul de On pourra faire intervenir la suite des intégrales de Wallis (voir par exemple les premières sections de cet article). Soit une suite décroissante à termes strictement positifs. On suppose que et que la série converge.
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Lire aussi: En hommage à Christophe Bertrand (Visited 866 times, 2 visits today) Mots-clefs de cet article Reproduire cet article: Vous avez aimé cet article? N'hésitez pas à le faire savoir sur votre site, votre blog, etc.! Le site de ResMusica est protégé par la propriété intellectuelle, mais vous pouvez reproduire de courtes citations de cet article, à condition de faire un lien vers cette page. Intégrale de bertrand. Pour toute demande de reproduction du texte, écrivez-nous en citant la source que vous voulez reproduire ainsi que le site sur lequel il sera éventuellement autorisé à être reproduit.
Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe: Théorème de comparaison (intégrales généralisées) Soient et deux fonctions continues par morceaux sur telles que. Si converge, alors converge aussi. Si diverge, alors diverge aussi. Le deuxième résultat est la contraposée du premier. Soient et. Par comparaison d'intégrales,. Or si converge, alors est majorée, ce qui implique d'après que aussi et donc (grâce au lemme) que converge. Montrer que converge. Pour tout, on a donc. Or converge. Donc converge aussi. Intégrale de bertrand restaurant. On rappelle que le « problème » est sur la borne d'en haut (c'est donc en que l'on effectue la comparaison de et): Corollaire: intégration des relations de comparaison Soient et deux fonctions continues par morceaux et positives sur. On suppose que (ce qui est vrai en particulier si). Si, alors les intégrales et sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes). Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.
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