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La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante: u 0 + u 1 + … + u n = ( premier terme) × ( 1 − q nombres de termes 1 − q) u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right) On sait que ( u n) \left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q = 3 q=3 et de u 0 = 2 u_{0} =2. De plus, il y a en tout 9 9 termes en partant de u 0 u_{0} à u 8 u_{8}.
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Tout comme précédemment, il s'agit encore d'une application directe de la formule de la somme avec $U_1=3$, q=2 et n=15 (rang du 15ème terme de la somme) $$U_1+U_2+…U_{15}=3\times \frac{1-2^{15}}{1-2}$$ $$U_1+U_2+…U_{15}=-3\times (1-2^{15})=98301$$ Cas particulier: lorsque la somme des termes commence par 1 On cherche ici à calculer la somme: $S=1+q+q^2+…q^n$ $$S=1+q+q^2+…q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ Cette formule se démontre assez facilement: Soit: $S=1+q+q^2+…q^n$ Calculons alors: $q\times S=q+q^2+q^3…q^{n+1}$ Et soustrayons ces deux égalités. On obtient: $S – q\times S=1-q^{n+1}$ la quasi totalité des termes s'élimine deux à deux. On peut alors factoriser le premier membre par S: $$S(1-q)=1-q^{n+1}$$ Pour $q\neq 1$ on peut alors isoler S: $$S=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ Somme des termes d'une suite: formule générale Si on y regarde d'un peu plus près, toutes les formules pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique se ressemblent. Trois éléments reviennent systématiquement dans les 3 formules précédemment citées: le premier terme ($U_0$, $U_1$ ou 1) la raison q est aussi présente à chaque fois enfin, le nombre de termes de la somme à calculer On peut donc résumer le tout avec la formule suivante: $$S=(Premier \: terme)\times \frac{1-q^{Nombre\: de\: termes}}{1-q}$$ Calculer la somme des termes consécutifs: exemples Exemple 1: Calculer la somme $S=1+4+16+…+16384$ Dans ce cas précis, on imagine aisément qu'il va falloir utiliser la troisième formule donnée dans ce cours.
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On remarque instantanément que la raison est q=4. Mais la difficulté réside alors le fait de déterminer la valeur de n. Pas de panique, il suffit de réaliser une table des puissances de 4 avec la calculatrice et trouver que $4^7=16384$ La somme S s'écrit donc: $S=1+4+4^2+…+4^7$ On peut alors appliquer la formule: $S=\frac{1-4^{7+1}}{1-4}=21845$ Exemple 2: Soit la suite définie par $U_0=1$ et $U_2=9$ Calculer la somme des 10 premiers termes. Dans ce cas là, le premier terme et le nombre de termes de la somme sont connus. Par contre, il faut trouver la raison de la suite géométrique. Cet exemple est assez simple, ici q=3. On calcule donc la somme: $$S=1+3+3^2+…3^9$$ $$S=\frac{1-3^{9+1}}{1-3}=29524$$ Il existe plusieurs formules qui peuvent être résumées en une seule La difficulté de la question ne réside pas dans l'utilisation de la formule mais dans la détermination d'autres facteurs: la raison, la valeur du premier terme ou encore le nombre de termes
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Définition On dit qu'une suite est géométrique s'il existe un réel non nul tel que pour tout on ait. Le réel s'appelle la raison de la suite. Exemple La suite définie par avec est une suite géométrique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16… Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de 2 termes consécutifs quelconques est constant quel que soit. Propriété Le terme général d'une suite géométrique peut s'exprimer directement en fonction de avec ou quel que soit. Il est ainsi possible, connaissant ou et, de calculer n'importe quel terme de la suite. Pour une suite géométrique de raison (–0, 3) et de premier terme, on peut écrire et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple,.
Formule de la somme d'une suite géométrique La base de tout c'est, bien évidemment, de connaître les formules de la somme des termes d'une suite géométrique. Je vais ici distinguer deux cas: lorsque le premier rang de la somme est n=0 et lorsque le premier rang de la somme est n=1. Mais tu verras un peu plus loin que ces formules pour calculer la somme peuvent être généralisées. Formule de la somme: deux cas classiques Commençons avec le cas le plus classique, lorsque le rang du premier terme de la suite est n=0. (Un) est donc une suite géométrique de premier terme $U_0$ et de raison q.
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